Variable de Bernoulli

Variable de Bernoulli: Loi de Bernoulli

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Bernoulli.

Bernoulli
Densité de probabilité / Fonction de masse

Fonction de répartition

Paramètres $p>0\,$ (nombre réel)
$q\equiv 1-p\,$

Support $k=\{0,1\}\,$

Densité de probabilité (fonction de masse) $\begin{matrix} q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1 \end{matrix}$

Fonction de répartition $\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1 \end{matrix}$

Espérance $p\,$

Médiane (centre) non disponible

Mode $\textrm{max}(p,q)\,$

Variance $pq\,$

Asymétrie (statistique) $\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$

Kurtosis (non-normalisé) $\frac{3p^2-3p+1}{pq}\,$

Entropie $-q\ln(q)-p\ln(p)\,$

Fonction génératrice des moments $q+pe^t\,$

Fonction caractéristique $q+pe^{it}\,$

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité $q = 1 - p$ .
$f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ 1-p & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.$
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut $p q = p (1 - p)$ .

Le Kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour $p = 1 / 2$ la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

Variable de Bernoulli

Une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est appelée variable de Bernoulli.

La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de la manière suivante : 1 pour "succès", 0 pour "échec", ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une épreuve de Bernoulli.

Plus généralement, toute application mesurable à valeur dans {0,1} est une variable de Bernoulli. Autrement dit, toute fonction indicatrice mesurable suit la loi de Bernoulli. Réciproquement, pour toute variable de Bernoulli X définie sur (Ω,A,P), on peut trouver un ensemble mesurable B tel que X et la fonction indicatrice de B soient presque sûrement égaux : toute variable de Bernoulli est presque sûrement égale à une fonction indicatrice.

Classiquement, écrire une variable aléatoire N, comptant un nombre d'évènements dans une situation donnée, comme la somme d'une famille de variables de Bernoulli permet de calculer simplement l'espérance de N, comme étant la somme des paramètres de ces variables de Bernoulli:
$\left\{N=\sum_{i\in I} X_i\right\}\quad\Rightarrow\quad\left\{\mathbb{E}[N]=\sum_{i\in I} \mathbb{P}(X_i=1)\right\}.$
Cette méthode simplifie aussi le calcul de la variance de N, dans certains cas.

Distributions liées

Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre $p$ , indépendantes et identiquement distribuées, alors leur somme N suit la Loi binomiale :

$N = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)$

Voir aussi

Épreuve de Bernoulli

Articles de mathématiques en rapport avec les probabilités ou les statistiques

Statistiques descriptives • Analyse des données • Visualisation des données • Estimateurs • Tests statistiques • Séries temporelles et économétrie • Statistique Mathématique • Théorie des probabilités • Variables aléatoires • Inégalités • Théorèmes limites • Processus stochastiques • La mécanique statistique • Les statistiques et l'économie • Les statistiques et la sociologie • Les statistiques et les sciences • Les probabilités et les jeux • Les équations aux dérivées partielles et les probabilités

Portail des probabilités et des statistiques

Ce document provient de « Loi de Bernoulli ».

Catégorie : Loi de probabilité

**Bernoulli**
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$p>0\,$ (nombre réel) $q\equiv 1-p\,$
Support	$k=\{0,1\}\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\begin{matrix} q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1 \end{matrix}$
Fonction de répartition	$\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1 \end{matrix}$
Espérance	$p\,$
Médiane (centre)	non disponible
Mode	$\textrm{max}(p,q)\,$
Variance	$pq\,$
Asymétrie (statistique)	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{3p^2-3p+1}{pq}\,$
Entropie	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
Fonction génératrice des moments	$q+pe^t\,$
Fonction caractéristique	$q+pe^{it}\,$

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Variable de Bernoulli de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Variable aleatoire — Variable aléatoire réelle Un exemple de variable aléatoire : la fonction qui associe au résultat du jet de deux dés la somme de leurs valeurs Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire à valeurs dans , ou une partie de … Wikipédia en Français
Variable aléatoire réelle — Un exemple de variable aléatoire : la fonction qui associe au résultat du jet de deux dés la somme de leurs valeurs Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire à valeurs dans , ou une partie de &# … Wikipédia en Français
Bernoulli process — In probability and statistics, a Bernoulli processis a discrete time stochastic process consisting ofa sequence of independent random variables taking values over two symbols. Prosaically, a Bernoulli process is coin flipping, possibly with an… … Wikipedia
Bernoulli distribution — Probability distribution name =Bernoulli type =mass pdf cdf parameters =1>p>0, pinR support =k={0,1}, pdf = egin{matrix} q=(1 p) mbox{for }k=0 p mbox{for }k=1 end{matrix} cdf = egin{matrix} 0 mbox{for }k … Wikipedia
Bernoulli trial — In the theory of probability and statistics, a Bernoulli trial is an experiment whose outcome is random and can be either of two possible outcomes, success and failure .In practice it refers to a single experiment which can have one of two… … Wikipedia
Bernoulli scheme — In mathematics, the Bernoulli scheme or Bernoulli shift is a generalization of the Bernoulli process to more than two possible outcomes.[1][2] Bernoulli schemes are important in the study of dynamical systems, as most such systems (such as Axiom… … Wikipedia
Bernoulli'sche Ungleichung — In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt. Für jede reelle Zahl x − 1 [1] und jede nicht negative ganze Zahl n 0 gilt … Deutsch Wikipedia
Bernoulli-Ungleichung — In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt. Für jede reelle Zahl x − 1 [1] und jede nicht negative ganze Zahl n 0 gilt … Deutsch Wikipedia
Variable aléatoire — Cet article concerne les variables aléatoires dans leur généralité. Pour les variables aléatoires à valeurs réelles, voir variable aléatoire réelle. Pour les variables aléatoires multivariées ou vecteurs aléatoires, voir vecteur aléatoire. Une… … Wikipédia en Français
Bernoulli, Johann — ▪ Swiss mathematician born Aug. 6 [July 27, old style], 1667, Basel, Switz. died Jan. 1, 1748, Basel major member of the Bernoulli family of Swiss mathematicians. He investigated the then new mathematical calculus, which he applied to the… … Universalium

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Variable de Bernoulli

Loi de Bernoulli

Variable de Bernoulli

Distributions liées

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Variable de Bernoulli

Loi de Bernoulli

Variable de Bernoulli

Distributions liées

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link