Variable de Bernoulli

Variable de Bernoulli

Loi de Bernoulli

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Bernoulli.

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité q = 1 − p.

  
f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ 1-p & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut pq = p(1 − p).

Le Kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour p = 1 / 2 la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

Variable de Bernoulli

Une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est appelée variable de Bernoulli.

La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de la manière suivante : 1 pour "succès", 0 pour "échec", ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une épreuve de Bernoulli.

Plus généralement, toute application mesurable à valeur dans {0,1} est une variable de Bernoulli. Autrement dit, toute fonction indicatrice mesurable suit la loi de Bernoulli. Réciproquement, pour toute variable de Bernoulli X définie sur (Ω,A,P), on peut trouver un ensemble mesurable B tel que X et la fonction indicatrice de B soient presque sûrement égaux : toute variable de Bernoulli est presque sûrement égale à une fonction indicatrice.

Classiquement, écrire une variable aléatoire N, comptant un nombre d'évènements dans une situation donnée, comme la somme d'une famille de variables de Bernoulli permet de calculer simplement l'espérance de N, comme étant la somme des paramètres de ces variables de Bernoulli:

\left\{N=\sum_{i\in I} X_i\right\}\quad\Rightarrow\quad\left\{\mathbb{E}[N]=\sum_{i\in I} \mathbb{P}(X_i=1)\right\}.

Cette méthode simplifie aussi le calcul de la variance de N, dans certains cas.

Distributions liées

  • Si X_1,\dots,X_n sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre p, indépendantes et identiquement distribuées, alors leur somme N suit la Loi binomiale :
N = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)


Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « Loi de Bernoulli ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Variable de Bernoulli de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Variable aleatoire — Variable aléatoire réelle Un exemple de variable aléatoire : la fonction qui associe au résultat du jet de deux dés la somme de leurs valeurs Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire à valeurs dans , ou une partie de …   Wikipédia en Français

  • Variable aléatoire réelle — Un exemple de variable aléatoire : la fonction qui associe au résultat du jet de deux dés la somme de leurs valeurs Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire à valeurs dans , ou une partie de &# …   Wikipédia en Français

  • Bernoulli process — In probability and statistics, a Bernoulli processis a discrete time stochastic process consisting ofa sequence of independent random variables taking values over two symbols. Prosaically, a Bernoulli process is coin flipping, possibly with an… …   Wikipedia

  • Bernoulli distribution — Probability distribution name =Bernoulli type =mass pdf cdf parameters =1>p>0, pinR support =k={0,1}, pdf = egin{matrix} q=(1 p) mbox{for }k=0 p mbox{for }k=1 end{matrix} cdf = egin{matrix} 0 mbox{for }k …   Wikipedia

  • Bernoulli trial — In the theory of probability and statistics, a Bernoulli trial is an experiment whose outcome is random and can be either of two possible outcomes, success and failure .In practice it refers to a single experiment which can have one of two… …   Wikipedia

  • Bernoulli scheme — In mathematics, the Bernoulli scheme or Bernoulli shift is a generalization of the Bernoulli process to more than two possible outcomes.[1][2] Bernoulli schemes are important in the study of dynamical systems, as most such systems (such as Axiom… …   Wikipedia

  • Bernoulli'sche Ungleichung — In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt. Für jede reelle Zahl x − 1 [1] und jede nicht negative ganze Zahl n 0 gilt …   Deutsch Wikipedia

  • Bernoulli-Ungleichung — In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt. Für jede reelle Zahl x − 1 [1] und jede nicht negative ganze Zahl n 0 gilt …   Deutsch Wikipedia

  • Variable aléatoire — Cet article concerne les variables aléatoires dans leur généralité. Pour les variables aléatoires à valeurs réelles, voir variable aléatoire réelle. Pour les variables aléatoires multivariées ou vecteurs aléatoires, voir vecteur aléatoire. Une… …   Wikipédia en Français

  • Bernoulli, Johann — ▪ Swiss mathematician born Aug. 6 [July 27, old style], 1667, Basel, Switz. died Jan. 1, 1748, Basel  major member of the Bernoulli family of Swiss mathematicians. He investigated the then new mathematical calculus, which he applied to the… …   Universalium

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”