Utilités

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En économie, l'utilité est une mesure du bien-être ou de la satisfaction obtenue par la consommation, ou du moins l'obtention, d'un bien ou d'un service. Elle est liée à la notion de besoin.

Au départ, la notion d'utilité était essentiellement liée à la prise de risque. La « Théorie sur la mesure du risque » de Daniel Bernoulli (1700 - 1782), et dans celle-ci, le Paradoxe de Saint-Pétersbourg furent à la base des théories économique et financière de l'aversion au risque, de la prime de risque et de l'utilité.

Le concept est utilisé dans les fonctions d'utilité, fonctions d'utilité sociale, optimum au sens de Wilfredo Pareto, boîtes d'Edgeworth. C'est un concept central de l'économie du bien-être. Pareto n'aimait d'ailleurs pas le terme, qu'il considérait chargé de trop de considérations morales. Il a proposé d'utiliser celui d'ophélimité, étymologiquement équivalent.

Sommaire 1 Utilitarisme et économie 2 Utilité cardinale et ordinale 2.1 Utilité cardinale 2.2 Utilité ordinale 2.3 Limites du concept 3 Fonction d'utilité 3.1 Construction 3.2 Propriétés 3.2.1 Décroissance de l'utilité marginale 3.2.2 Élasticité de substitution 3.2.3 Fonction additivement séparable 3.3 Utilisation 4 Utilité en incertain 4.1 Le paradoxe de l'espérance 4.2 Utilité de von Neumann Morgenstern 5 Fonction d'utilité sociale 6 Utilité indirecte 7 Voir aussi 7.1 Liens 7.2 Bibliographie

Utilitarisme et économie

L'utilitarisme est une philosophie morale qui entretient des rapports complexes de cousinage avec l'économie. Jeremy Bentham (1748-1832) pose que les hommes sont des êtres qui recherchent le plaisir et que la promotion du plus grand bonheur devrait être le critère moral du bien. John Stuart Mill, dans son livre Utilitarianism (1861), insiste sur le fait que l'utilitarisme est un hédonisme éthique en ce sens qu'une action individuelle est morale si elle prend comme critère le plus grand bonheur du plus grand nombre et non l'intérêt individuel.

Les liens les plus étroits entre la philosophie utilitariste et l'économie doivent être recherchés dans l'économie du bien-être. En revanche, les racines de la révolution marginaliste, initiée par Gossen, Jevons, Menger et Walras, ne peuvent être reliées d'aucune façon évidente à la philosophie utilitariste.

Utilité cardinale et ordinale

Au sein de l'école néoclassique, un problème central de la théorie du consommateur est la construction d'une fonction de demande qui puisse être le parallèle de la fonction d'offre issue de la théorie du producteur. Cette difficulté fut résolue en deux temps, d'abord en supposant une utilité cardinale, mesurable et comparable entre les biens, puis une utilité ordinale, légèrement moins contraignante.

Utilité cardinale

Les précurseurs de la révolution marginaliste (Walras, Jevons, Menger) concevaient l'utilité comme la sensation de plaisir associée à la consommation d'un bien. Ils défendirent l'idée d'une mesure cardinale de l'utilité en supposant que le consommateur était capable de donner une évaluation de l'utilité que lui apportait toute combinaison de biens. Cette faculté était l'exact miroir de la capacité supposée du producteur à prédire la production pour toute combinaison d'intrants donnée, et simplifiait considérablement l'analyse. Pour des raisons pédagogiques, elle fut également utilisée, avec quelques réserves, par Alfred Marshall.

Par exemple, si la consommation d'une quantité q_A d'un bien A donne une satisfaction de 100 et une quantité q_B d'un bien B donne une satisfaction de 10, q_A est équivalent à 10 fois q_B.

Utilité ordinale

L'exemple ci-dessus illustre le problème conceptuel de l'utilité cardinale : il n'existe pas d'échelle objective de la mesure de l'utilité. C'est pourquoi Wilfredo Pareto, successeur de Marshall proposa une formulation en termes d'utilité ordinale.

Dans le cadre de l'utilité ordinale, il est demandé au consommateur de pouvoir classer raisonnablement les biens ou paniers de biens en fonction de l'utilité apportée. Il lui suffit donc de savoir s'il préfère q_A à q_B, q_B à q_A ou s'il est indifférent entre les deux. En termes mathématiques, il suffit donc de pouvoir décrire un préordre complet sur l'espace des paniers de biens : la relation de préférence doit ainsi être complète (on peut comparer tout couple de paniers), réflexive (un panier est préféré à lui-même) et transitive (si le panier A est préféré au panier B et le panier B au panier C, alors A est préféré à C).

On retrouve comme principaux ténors de cette conception ordinale Wilfredo Pareto, Eugen Slutsky, repris par Paul Samuelson et John Hicks.

Limites du concept

Qu'il s'agisse de l'utilité ordinale ou de l'utilité cardinale, le concept d'utilité ne serait somme toute qu'un artifice pour donner une formulation simple à des comportements complexes. Les expériences d'économie expérimentale montrent en effet que même sur un ensemble restreint de biens, les agents sont souvent incapables de comparer tous les paniers deux à deux (non-complétude), et proposent rarement un classement qui respecte la transitivité.

Toutefois, la puissance de cet outil comme description des comportements est telle qu'il reste très largement utilisé.

Fonction d'utilité

L'utilité cardinale fournit directement une évaluation de l'utilité d'un panier de biens, qui permet de les traiter comme une grandeur mathématique. Avec le passage à l'utilité ordinale, il faut construire un objet qui permette de ramener chaque panier à un nombre reflétant la relation de préférence sous-jacente. C'est la fonction d'utilité.

Construction

On construit donc ainsi une fonction mathématique U allant de l'espace des biens dans R ⁺ telle queU(A) > U(B) implique que le panier A est préféré au panier B. On peut ainsi construire des courbes d'indifférence regroupant les paniers qui laissent indifférent le consommateur lorsqu'il les compare deux à deux. Du fait de la complétude et de la transitivité, ces courbes peuvent alors être classées selon un ordre total.

La fonction d'utilité, en associant un indice à chaque panier, n'est pas unique. Si U est une fonction d'utilité pour un individu, alors en est une aussi si G est une fonction de R ⁺ dans R ⁺ strictement croissante. De ce fait, l'utilité ordinale n'est pas comparable entre les individus, ce qui rend impossible d'en déduire directement une utilité sociale comme le désiraient les utilitaristes.

Propriétés

On suppose en général un certain nombre de propriétés à la fonction d'utilité afin de se restreindre à une classe vraisemblable, et surtout mathématiquement gérable, de fonctions. La plupart du temps, on se restreint a priori à des fonctions infiniment dérivables (fonctions de classe ). On peut noter que cette restriction suppose l'infinie divisibilité des biens consommés, ce qui est moins absurde qu'il n'y paraît si on considère que la consommation de ces biens peut être fractionnée en plusieurs unités de temps.

Décroissance de l'utilité marginale

Il est assez intuitif de supposer que pour la quasi-totalité des biens, une augmentation de la quantité d'un bien dans un panier augmente ou laisse inchangée l'utilité retirée de ce panier. C'est pourquoi on impose à la fonction d'utilité d'être croissante dans chacun de ses arguments :

En revanche, on peut également penser que cette augmentation n'est pas indépendante de la quantité de ce bien déjà disponible dans le panier. Ainsi, si la première gorgée de bière procure un plaisir ineffable, la seconde est déjà moins bonne, et ainsi de suite, jusqu'à arriver au moment où l'envie se tarit. Cela signifie que l'utilité de chaque nouvelle gorgée de bière est inférieure à celle de la précédente : l'utilité marginale est décroissante.

Afin d'éviter les solutions en coins dans les problèmes d'optimisation, on suppose en général que l'utilité de la dernière unité consommée ne devient jamais nulle, propriété dite de non-saturation :

Le bien-fondé de cette hypothèse repose sur la rationalité de l'agent : si l'utilité est bien définie, l'agent ne perdra jamais son temps à consommer quelque chose qui est dommageable pour lui ou qui ne lui apporte rien.

On peut enfin se restreindre aux domaines où l'utilité marginale est strictement décroissante :

Si les préférences sont additives directes (ou séparables), alors cette hypothèse implique qu'on a des fonctions d'utilité concaves, et donc des courbes d'indifférence définissant des ensembles convexes.

Élasticité de substitution

En termes de théorie du consommateur, l'élasticité de substitution joue un rôle fondamental dans l'analyse. C'est pourquoi on demande parfois à la fonction d'utilité de présenter une élasticité de substitution constante : pour tout couple de paniers de biens, une diminution de 1% de la quantité de bien A peut être compensée par l'augmentation de de la quantité de bien B, où c est une constante indépendante du couple de paniers. On parle alors de fonction CES (Constant Elasticity of Substitution).

Ces fonctions ont la propriété de traduire une aversion au risque constante de la part de l'agent.

Fonction additivement séparable

Même dans la classe des fonctions d'utilité concaves, on peut avoir des formes fonctionnelles très complexes. Afin d'obtenir des solutions analytiques aux programmes d'optimisation, on utilise souvent des fonctions d'utilité additivement séparables :

Une telle formulation suppose que les biens ne sont pas complémentaires entre eux, ou que les biens complémentaires (un ordinateur et son système d'exploitation) soient regroupés en un bien composite.

Utilisation

En pratique, Alfred Marshall fait remarquer que l'utilité cardinale ne pose pas de problème insurmontable. Il remarque en effet que si les agents sont suffisamment rationnels pour que la notion d'utilité ordinale ait un sens, on peut également supposer que leur propension à payer (le prix maximal qu'ils sont prêts à payer pour un panier de biens donné) fournit une bonne mesure de l'utilité qu'ils en retirent, ce qui permet également la comparaison entre les agents.

Utilité en incertain

En théorie des probabilités a été développé un concept analogue à celui de la fonction d'utilité. Il s'agit encore d'une fonction qui associe un nombre à un couple (événement, probabilité de cet événement), afin de surmonter les difficultés liées à l'application pratique de l'espérance mathématique.

Le paradoxe de l'espérance

Alors qu'elle constitue un bon outil de prévision, l'espérance mathématique échoue à bien décrire le comportement des agents face à une loterie. Ainsi, un agent averse au risque préfère gagner 1000€ tout de suite plutôt que de jouer à un jeu où il a une chance sur 100 de gagner 100 000€, alors que l'espérance des deux est identique. Les économistes systématisent cet argument en termes d'aversion au risque et d'utilité marginale décroissante pour expliquer ce phénomène. Les mathématiciens comme Émile Borel considèrent simplement que la probabilité d'une situation est un simple élément parmi d'autres de calcul de son utilité, qui n'a pas de raison particulière d'intervenir de façon linéaire et ne le fait pas en général. Cette approche a mis fin à une idée reçue selon laquelle jouer à la loterie était toujours mathématiquement une erreur, idée fondée sur une confusion entre les notions d'utilité et d'espérance mathématique.

Le joueur au Loto montre qu'il préfère jouer avec une chance sur 10 millions de gagner 5 millions d'euros que garder l'euro que lui coûte le billet. L'argumentaire d'Émile Borel expliquait que ce joueur pouvait avoir raison contrairement aux apparences : la perte d'un euro ne changera guère sa vie ; le gain de cinq millions a beau être improbable, il transformera celle-ci de façon qualitative et non simplement quantitative.

Utilité de von Neumann Morgenstern

Proposée par John von Neumann et Oskar Morgenstern dans Theory of Games and Economic Behavior (1944), cette formulation de l'utilité a été très généralement adoptée dans la modélisation de choix lorsque les événements sont probabilisables.

Au lieu de définir la fonction d'utilité sur un espace de biens, on la définit sur un espace de loteries, et on considère celles qui sont linéaires par rapport aux loteries et confondues avec les fonctions d'utilités usuelles sur le sous-espace des loteries certaines : pour une loterie L = {(p,Q),(1 − p,Q')},

U(L) = U({(p,Q),(1 − p,Q')}) = pu(Q) + (1 − p)u(Q')

Fonction d'utilité sociale

De façon analogue à ce qui est fait pour le consommateur, il est tentant de définir une fonction d'utilité sociale qui reflète les préférences de la société dans son ensemble. Une telle fonction a été souvent postulée dans l'économie du bien-être ou l'économie politique, sans justification de sa construction.

En pratique, la construction d'une telle fonction se heurte à de multiples difficultés. D'une part, elle repose crucialement sur l'hypothèse d'utilités cardinales (voir infra). D'autre part, la construction d'une fonction de préférence collective, d'où déduire une fonction d'utilité collective, se heurte au théorème d'impossibilité d'Arrow, montrant l'impossibilité de construire une relation de préférence collective ayant les propriétés voulues sans supposer qu'un individu unique impose ses préférences à tous les autres.

Utilité indirecte

Voir : Théorie du consommateur.

La fonction d'utilité indirecte est un élément du problème dual du consommateur. Pour un niveau de ressources initiales et un vecteur de prix donné, la fonction d'utilité indirecte donne la valeur maximale de l'utilité atteignable par cet agent.

Voir aussi

Liens

• Microéconomie
• Préférences
• Théorie cardinale de l'utilité
• Théorie du consommateur
• Théorème d'impossibilité d'Arrow

Bibliographie

• Bernard Guerrien, Dictionnaire d'analyse économique, La Découverte, ISBN 2707125377

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