- Théorème de van Kampen
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En topologie algébrique, le théorème de van Kampen (en), également appelé théorème de Seifert (en)-Van Kampen, est un résultat permettant de calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui se décompose en des espaces plus simples dont les groupes fondamentaux sont déjà connus.
Sommaire
Énoncé
Soient U1, U2 des ouverts connexes par arcs ainsi que leur intersection, et soit
. Alors le groupe fondamental de 
en x est égal à la somme amalgamée[1] de la famille des groupes fondamentaux de U1 et U2 au-dessus de celui de 
:
.
Un cas particulier essentiel est celui où
est simplement connexe : 
est alors le produit libre π(U1,x) * π(U2,x) des groupes fondamentaux de U1 et U2.Par exemple, un tore percé d'un trou est homéomorphe à la réunion de deux cylindres d'intersection simplement connexe. Le théorème de van Kampen montre que son groupe fondamental est
, c'est-à-dire le groupe libre sur deux générateurs. De façon similaire, le groupe fondamental du plan projectif est le groupe à deux éléments.Cas de deux sous-espaces fermés
Le théorème énoncé ci-dessus reste valide si U1, U2 et
sont des sous-espaces fermés connexes par arcs[2].Soient V1, V2 des sous-espaces fermés connexes par arcs qui admettent des revêtements simplement connexes, ainsi que leur intersection, et soit
. Alors le groupe fondamental de 
en x est égal à la somme amalgamée des groupes fondamentaux de V1 et V2 au-dessus de celui de 
:
.
Notes et références
- Zisman 1972 ; N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, p. I.80-84 ; A. et R. Douady, 2e éd., p. 252 (la somme amalgamée était appelée produit libre amalgamé dans le tome 2 de la première édition).
- A. et R. Douady, tome 2, qui suppose que les espaces admettent un revêtement universel pointé.
Bibliographie
- Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, A. Colin, 1972
- Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
Catégories :- Topologie algébrique
- Théorème de mathématiques
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