Théorème de thévenin

Théorème de thévenin

Théorème de Thévenin

Le théorème de Thévenin a été initialement découvert par le scientifique allemand Hermann von Helmholtz en 1853, puis en 1883 par l'ingénieur télégraphe français Léon Charles Thévenin. Ce théorème est une propriété électronique qui se déduit principalement des propriétés de linéarité[1] et du principe de superposition qui en découle. Il s'utilise pour convertir une partie d'un réseau complexe en un dipôle plus simple.

Sommaire

Énoncé

Un réseau électrique linéaire vu de deux points est équivalent à un générateur de tension parfait dont la force électromotrice est égale à la différence de potentiels à vide entre ces deux points, en série avec une résistance égale à celle que l'on mesure entre les deux points lorsque les générateurs indépendants sont rendus passifs.


Démonstration du théorème de Thévenin

La démonstration de ce théorème repose sur le principe de superposition, ce qui permet d'étendre la généralité de son application à tous dispositifs électroniques qui fonctionnent linéairement.

On peut imaginer la situation où l'on relie deux dipôles linéaires désignés respectivement par les lettres A et B, le but de la démarche est alors de trouver un schéma équivalent au dipôle A de sorte que son comportement vis à vis du dipôle B reste identique.

Avant de relier les dipôles A et B, les tensions à vide entre leurs bornes sont respectivement u_A(t)=u_{A0}(t)\, et u_B(t)\,=0, car on considère tout d'abord pour simplifier la démonstration que le dipôle B ne contient pas de sources électriques et que toutes les grandeurs électriques, en circuit ouvert, y sont initialement nulles (figure a).

Thévenin1.JPGThévenin2.JPG

On peut ensuite relier les deux dipôles à l'aide d'un court-cicuit qu'on remplace, toutefois de manière équivalente, par deux sources de tension en série u_1\, et u_2\, qui ont une même amplitude égale à u_{A0}(t)\, mais des orientations opposées (figure b). Dans ce nouveau montage, les courants et tensions se voient alors, par application du principe de superposition, comme le résultat de l'action cumulée de deux influences: celle de u_1\, et des sources électriques situées dans A d'une part (figure c) et celle de u_2\, d'autre part (figure d). Cependant, il apparait clairement que la première de ces influences est équivalente à la situation où les deux dipôles se trouvaient en circuit ouvert et qu'elle ne modifie donc pas les grandeurs électriques de B. La source de tension u_2\, d'amplitude u_{A0}(t)\, mis en série avec le dipôle A dans lequel a été annulé l'influence de toutes sources électriques indépendantes peut ainsi sembler comme à l'origine des courants et tensions du dipôle B.

Thévenin3.JPGThévenin4.JPG

Lorsque le dipôle B contient également des sources électriques indépendantes, on peut encore à l'aide du principe de superposition revenir à la situation précédente et utiliser le même raisonnement. Il suffit pour retrouver cette situation d'annuler les sources électriques, tour à tour dans chaque dipôle, cela permettant de déterminer successivement les dipôles de Thévenin équivalents à A et à B.

Détermination du modèle de Thévenin

Soit un circuit composé de plusieurs sources et de plusieurs résistances possédant deux bornes A et B entre lesquelles est raccordée une charge :

  • La tension de Thévenin V_{Th}\! est la tension calculée ou mesurée, entre les bornes A et B lorsque la charge est déconnectée (tension à vide).
  • La résistance de Thévenin R_{Th}\! est la résistance calculée, ou mesurée, entre les bornes A et B lorsque la charge est déconnectée et que les sources sont éteintes : les sources de tension indépendantes sont remplacées par un court-circuit et les sources de courant indépendantes par un circuit ouvert.

Lorsque la tension de Thévenin est connue, il existe trois autres méthodes pratiques pour mesurer la résistance de Thévenin.

  • La première consiste à remplacer la charge par une résistance dont la valeur est connue et à prendre la tension aux bornes de cette résistance. R_{Th}\! se résout facilement car elle devient alors la seule inconnue de l'équation découlant du théorème du diviseur de tension.
  • La deuxième méthode, proche de la première, est celle dite de la demi-tension : on utilise une résistance variable au lieu d'une résistance fixe et on fait varier la valeur de la résistance jusqu'à avoir \frac{V_{Th}}{2}, les deux résistances sont alors égales.
  • La dernière méthode fait appel au courant de Norton. Si celui-ci est connu, on utilise la formule suivante:R_{Th} = V_{Th} / I_{N} \! où I_{N}\! est le courant calculé ou mesuré, entre les bornes A et B lorsqu'elles sont court-circuitées.

Le théorème de Thévenin s'applique aussi aux réseaux alimentés par des sources alternatives. L'ensemble des résultats est applicable en considérant la notion d'impédance en lieu et place de celle de résistance.

Exemple

Illustration du théorème de Thévenin.


  • En (a): Circuit originel.
  • En (b): Calcul de la tension aux bornes de AB.
V_\mathrm{AB} = {R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1} = {1\, \mathrm{k}\Omega + 1\, \mathrm{k}\Omega \over (1\, \mathrm{k}\Omega + 1\, \mathrm{k}\Omega) + 2\, \mathrm{k}\Omega} \times 15 \mathrm{V} = {1 \over 2} \times 15 \mathrm{V} = 7.5 \mathrm{V}

(Notez que R1 n'est pas prise en considération, car les calculs ci-dessus sont faits en circuit ouvert entre A et B, par suite, il n'y a pas de courant qui passe à travers R1 et donc aucune chute de tension n'y apparait)

  • En (c): Calcul de la résistance équivalente aux bornes AB en court-circuitant V1.
R_\mathrm{AB} = R_1 + \left ( \left ( R_2 + R_3 \right ) \| R_4 \right ) = 1\, \mathrm{k}\Omega + \left ( \left ( 1\, \mathrm{k}\Omega + 1\, \mathrm{k}\Omega \right ) \| 2\, \mathrm{k}\Omega \right )
= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left({1 \over ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega )} + {1 \over (2\,\mathrm{k}\Omega ) }\right)^{-1} = 2\, \mathrm{k}\Omega
  • En (d): Circuit équivalent de Thévenin. Celui-ci nous permet de trouver aisément le courant dans un dipôle quelconque relié entre les bornes A et B sans qu'on ait à résoudre le circuit au complet.

Conversion entre un circuit de Thévenin et de Norton

Circuit de Thévenin (à gauche) et circuit de Norton (à droite).

On passe directement d'un circuit de Thévenin à un circuit de Norton et inversement, à l'aide des formules suivantes:

  • De Thévenin à Norton;
R_{N} = R_{Th}, \quad I_{N} = V_{Th} / R_{Th} \!
  • De Norton à Thévenin;
R_{Th} = R_{N}, \quad V_{Th} = I_{N} R_{N} \!

Notes et références

  1. ↑ José-Philippe Pérez, « La main à la pâte, oui mais avec la Tête ! », Bulletin de l'union des physiciens, n°906, juillet/août/septembre 2008, page 988.
  • Léon C. Thévenin, « Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes », dans Annales Télégraphiques, tome 10, 1883, p. 222-224
  • Léon C. Thévenin, « Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique », dans Compte rendu des Séances de l’Académie des Sciences, 1883, p. 159-161

Voir aussi

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