Théorème de millman

Théorème de Millman

Le théorème de Millman est une forme particulière de la loi des nœuds exprimée en termes de potentiel. Il est ainsi nommé en l'honneur de l'électronicien américain Jacob Millman.

Sommaire

1 Énonciation
2 Exemple
3 Applications
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes

Énonciation

Illustration du théorème de Millman

Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances.

$V_m=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.Y_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N Y_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{Z_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{Z_k}}$

Dans le cas particulier d'un réseau électrique composé de résistances :

$V_m=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.G_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N G_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{R_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}$

Avec G, la conductance.

Démonstration

On considère le schéma ci-dessus.

Comme les branches (Zk ; Ek) sont en parallèle, on travaille avec les admittances $Y_{k}=\frac{1}{Z_{k}}$ . Pour chaque branche (source de tension et impédance), on obtient, d'après la loi d'ohm : $I_{k}=Y_{k} \times (V_{m}-E_{k})$

Ensuite, d'après la loi des nœuds, on a : $\sum_{k=1}^N I_{k}=0$

soit

$\sum_{k=1}^N Y_{k} \times (V_{m}-E_{k})=0$

en développant :

$\sum_{k=1}^N Y_{k} \times V_{m} = \sum_{k=1}^N Y_{k} \times E_{k}$

d'où :

$V_{m} = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^N E_{k} . Y_{k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N Y_{k}}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{Z_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{Z_k}}$

Exemple

Exemple d'application du théorème de Millman

Sur la figure ci-contre, la tension $V a b$ ( ou $V m$ ), a été calculée en suivant la formule du théorème de Millman:

$V_{ab}=\frac{\dfrac{V_1}{R_1}+\dfrac{V_2}{R_2}+\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}}$ $=\frac{\dfrac{10}{5}+\dfrac{0}{8}+\dfrac{-12}{3}}{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}} = -3V$

Le signe négatif signifie que le point $a$ est négatif par rapport à la masse commune.

Applications

Ce théorème s'utilise avantageusement si $V m$ est nulle (par exemple, la tension différentielle d'un AOP en régime linéaire), le dénominateur n'a pas besoin alors d'être formulé.

Voir aussi

(en) Millman's Theorem (All about circuits)

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