Théorème de thalès (cercle)

Théorème de Thalès (cercle)

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Thalès.

Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle. Deux théorèmes portent le nom de théorème de Thalès. Voir théorème de Thalès pour triangles semblables pour l'autre théorème de Thalès.

Un cercle de Thalès est un demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Une sphère de Thalès est une demi-sphère dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Histoire

Ce théorème est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet.

Démonstration

Dans la figure, les triangles (OAB) et (OBC) sont isocèles de sommet O, donc nous pouvons écrire les égalités suivantes : $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ et $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$

(rem: cette propriété est aussi une propriété démontrée par Thalès)

En sommant ces deux égalités, il vient :

$\widehat{OAB}+\widehat{OCB}=\widehat{ABC}$

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient

$\widehat{OAB}+\widehat{OCB}+\widehat{ABC} = 2\widehat{ABC}=180$ °

puis en divisant par 2 la dernière égalité, on obtient

$\widehat{ABC}= 90$ °

Le triangle est donc bien rectangle en B.

Réciproque

Il existe aussi une réciproque à cette version du théorème de Thalès :

Si ABC est un triangle rectangle en B alors le triangle s'inscrit dans un cercle de diamètre [AC]

Démonstration: on trace la droite passant par le milieu O de [AC] et le milieu A' de [BC]. Comme droite des milieux, elle est parallèle à (AB). Comme (AB) et (BC) sont perpendiculaires, il en est de même de (A'O) et (BC). (A'O) est donc une droite passant par le milieu de [BC] et perpendiculaire à [BC], c'est donc la médiatrice de [BC]. Il suffit de faire le même raisonnement pour la droite passant par O et par C' milieu de [AB] pour prouver que cette droite est la médiatrice de [AB]. Ces deux médiatrices se coupent en O qui est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. Comme O est le milieu de [AC], le cercle a bien pour diamètre [AC]

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Catégories : Mathématiques élémentaires | Théorème de mathématiques | Géométrie du triangle

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