Théorème de plongement de whitney
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Théorème de plongement de Whitney
En topologie différentielle, le théorème de plongement de Whitney fait le lien entre les notions de variété abstraite et de sous-variété de l'espace vectoriel réel Rn : toute variété différentielle de dimension m peut être plongée dans l'espace euclidien de dimension 2m. Cette valeur 2m peut bien sûr être diminuée dans certains exemples particuliers, mais pour l'exemple de l'espace projectif réel de dimension m, la constante 2m est optimale.
Remarque historique
La preuve du théorème, en 1936, fut l'occasion pour Hassler Whitney de donner la première formulation complète du concept de variété différentielle, concept déjà utilisé de façon implicite dans les travaux de Riemann, les travaux sur les groupes de Lie, et en relativité générale depuis de nombreuses années. Cette formulation utilisa et permit de dépasser celle de Hermann Weyl dans son livre de 1913, Die Idee der Riemannschen Fläche (Le concept de surface de Riemann).
Éléments de démonstration
Optimalité
Soit une variété différentielle M de dimension m, plongée dans l'espace Rm+n. Le fibré normal est un fibré vectoriel de base M et de rang n, dont la classe totale de Stiefel-Whitney w ' est l'inverse de la classe totale de Stiefel-Whitney w du fibré tangent de M. Les identités w 'i=0 pour i>n impliquent compte-tenu de w fixé des contraintes sur N dépendant de la topologie globale de M.
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