Plongement d'une variété dans un espace euclidien
- Plongement d'une variété dans un espace euclidien
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Dans de nombreuses branches des mathématiques, on peut être amené à comparer deux « objets » entre eux en plongeant l'un dans l'autre. Un cas particulier consiste à plonger une variété différentielle dans un espace euclidien. Pour prendre un exemple simple, l'espace constitué par la surface d'une sphère est difficile à se représenter comme un espace courbe à deux dimension, par contre, il est évident à visualiser quand on le voit comme un sous espace de l'espace à 3 dimensions. Dans cette représentation, la surface de la sphère est vue comme plongée dans l'espace à 3 dimension. La difficulté consiste à alors à se représenter que tout ce qui ne fait pas partie de la surface de la sphère n'existe pas dans la variété.
Hassler Whitney a démontré, en 1935, que toute variété différentielle de dimension n admettait un plongement (respectivement : une immersion, si n>1) dans un espace euclidien de dimension 2n (respectivement : 2n-1). Une approche naïve consisterait à penser que la vision en plongement permettrait de résoudre facilement tous les problèmes de la géométrie différentielle, D'ailleurs, c'est de cette façon que les espaces courbes ont été traités en premier, mais en réalité, les solutions des problèmes de géométrie différentielle ne s'expriment pas spontanément sous cette forme, et construire un tel plongement n'est d'abord pas un problème facile à résoudre d'autant que la solution n'est même souvent pas unique, mais en plus le nombre de dimensions nécessaire va à l'encontre du gains espéré en facilité de lecture. C'est la raison pour laquelle on a développé des approches de la géométrie qui permettent d'aborder ces espaces sans réaliser de plongement.
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