Théorème de plongement de Nash

En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien.

« De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ». Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien.

Il existe deux théorèmes de plongement de Nash :

• Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C¹. Il est peu intuitif mais se démontre facilement.
• Le second (1956), portant sur les variétés de classe C^k où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement.

Théorème de plongement C¹ (Nash-Kuiper)

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et f un plongement lisse et non expansif de M dans un espace euclidien ℝⁿ où n ≥ m+1. Alors pour tout ε>0, il existe un plongement de M dans ℝⁿ ayant les propriétés suivantes :

1. est de classe C¹,
2. est isométrique, i.e. pour tous vecteurs v,w de l'espace tangent à M en un point x on a où < , > est le produit scalaire canonique de ℝⁿ.
3. pour tout point x de M.

En particulier, d'après le théorème de plongement de Whitney, toute variété riemannienne de dimension m admet une isométrie de classe C¹ dans un espace euclidien de dimension 2m.

Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être C¹-plongée dans une boule arbitrairement petite de ℝ³ (d'après la formule de Gauss-Bonnet, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe C³ ; la question est ouverte pour les plongements C²).

Théorème de plongement C^k

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe C^k avec k ≥ 3). Alors il existe un nombre n (n=(m+1)(3m+11)/2 suffit, et même n=m(3m+11)/2 si M est compacte) et un plongement injectif f de M dans ℝⁿ, également analytique ou de classe C^k, tel que pour tous vecteurs v,w de l'espace tangent à M en un point x on ait :

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Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nash embedding theorem » (voir la liste des auteurs)
• (en) N. H. Kuiper (de), « On C¹-isometric imbeddings I », dans Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., vol. 58, 1955, p. 545–556
• (en) John Nash, « C¹-isometric imbeddings », dans Annals of Mathematics, vol. 60, 1954, p. 383–396
• (en) John Nash, « The imbedding problem for Riemannian manifolds », dans Annals of Mathematics, vol. 63, 1956, p. 20–63
• (en) John Nash, « Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data », dans Annals of Mathematics, vol. 84, 1966, p. 345–355

Lien externe

Sujet de l'épreuve d'analyse du concours externe de l'agrégation de mathématiques de 1997

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