Théorème de Tychonov

Théorème de Tychonov

Le théorème de Tychonov est un théorème de topologie qui affirme qu'un produit d'espaces topologiques compacts est compact au sens de la topologie produit. Il a été publié en 1930 par le mathématicien russe Andreï Nikolaïevitch Tikhonov. Il a plusieurs applications en topologie algébrique et différentielle, particulièrement en analyse fonctionnelle, pour la preuve du théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki et le compactifié de Stone-Čech.

Si ce théorème ne choque pas l'intuition dans le cas d'un produit fini, sa validité dans le cas d'un produit quelconque est plus étonnante, et se démontre par une méthode non constructive faisant appel à l'axiome du choix. On notera qu'il est aussi possible de se passer de l'axiome du choix dans le cas d'un produit dénombrable d'espaces métriques compacts, ce que nous montrons dans la première partie de cet article, la deuxième étant consacrée à la démonstration dans le cas général.

Sommaire

Démonstration dans le cas d'un produit dénombrable de métriques

Dans le cas du produit dénombrable de métriques, l'idée essentielle est de faire de ce produit un espace lui aussi métrique en le munissant d'une distance appropriée, ce qui permet ensuite d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass: le produit X sera compact si et seulement si de toute suite d'éléments de X on peut extraire une sous-suite convergente.

Démonstration

Soit donc \scriptstyle (X_i,d_i)_{i\in\mathbb{N}} une famille de métriques compacts. On se ramène à des distances \scriptstyle d_i inférieures ou égales à 1: pour chaque \scriptstyle i, la distance \scriptstyle d'_i= \min(d_i,1) définit la même topologie que la distance \scriptstyle d_i. Définissons sur \scriptstyle X=\prod_{i\in\mathbb{N}}X_i l'application \scriptstyle d par:

\scriptstyle \forall x=(x_i)_{i\in\mathbb{N}}, y=(y_i)_{i\in\mathbb{N}} \in \prod_{i\in\mathbb{N}}X_i, d(x,y)=\sum_{i\in\mathbb{N}}\frac{1}{2^{i+1}}d'_i(x_i,y_i)

On vérifiera aisément que c'est bien une distance sur \scriptstyle X. Montrons qu'elle définit les mêmes ouverts de la topologie produit.

Soit \scriptstyle x\in B_d(a,r); montrons que x appartient à un ouvert pour la topologie produit contenu dans \scriptstyle B_d(a,r). Par l'inégalité triangulaire, il existe \scriptstyle \rho > 0 tel que \scriptstyle B(x,\rho)\subset B(a,r). La série \scriptstyle \sum \frac{1}{2^{i+1}} étant convergente, son reste tend vers 0. Soit donc \scriptstyle N tel que \scriptstyle \sum_{i\ge N}\frac{1}{2^{i+1}}<\frac{\rho}{2}. On considère alors l'ouvert \scriptstyle U=B'_0\left(x_0,\frac{\rho}{2}\right)\times \cdots\times B'_N\left(x_N,\frac{\rho}{2}\right)\times\prod_{i>N}X_i. Alors \scriptstyle \forall y\in U, \scriptstyle d(x,y)\le\sum_{i=0}^N \frac{1}{2^{i+1}}d'_i(x_i,y_i) +\sum_{i> N}\frac{1}{2^{i+1}} < \frac{\rho}{2}+\frac{\rho}{2}=\rho donc \scriptstyle U voisinage au sens de la topologie produit de \scriptstyle x inclus dans \scriptstyle B_d(a,r): la topologie produit contient donc la topologie métrique.

Réciproquement, soit U ouvert de la topologie produit, soit \scriptstyle x\in U, alors il existe \scriptstyle N\in \mathbb{N} et \scriptstyle r_0\dots r_N>0 tels que \scriptstyle \prod_{i=0}^{N} B'_i(x_i,r_i)\times\prod_{i>N}X_i \subset U. On considère alors le rayon \scriptstyle r= \min\left(\frac{r_i}{2^{i+1}}\right), et on montre que la boule pour \scriptstyle d de centre \scriptstyle x et de rayon r est incluse dans \scriptstyle U ; en effet si \scriptstyle d(x,y)<r, alors \scriptstyle \sum_{i\in\mathbb{N}} \frac{1}{2^{i+1}}d'_i(x_i,y_i)<r. Or comme la série est à termes positifs, chacun de ses termes est inférieur à sa somme : \scriptstyle \forall 0\le i\le N, \frac{d'_i(x_i,y_i)}{2^{i+1}} < r \le \frac{r_i}{2^{i+1}}. Donc \scriptstyle \forall 0\le i\le N, d'_i(x_i,y_i) < r_i, donc \scriptstyle y\in U. U est donc voisinage de chacun de ses points au sens de la topologie métrique: c'est donc un ouvert de la topologie métrique: la topologie métrique contient la topologie produit.

Ainsi, la topologie métrique et la topologie produit sont égales. On peut alors utiliser pour la compacité de \scriptstyle X la caractérisation séquentielle par un procédé diagonal: soit \scriptstyle (x^i)_{i\in\mathbb{N}} une suite d'éléments de X (une suite de suites). La suite \scriptstyle (x^0_j)_{j\in\mathbb{N}} admet une suite extraite \scriptstyle (x^0_{n_0(j)})_{j\in\mathbb{N}} qui converge vers \scriptstyle x_0\in X_0 par compacité de \scriptstyle X_0. Alors la suite \scriptstyle (x^1_{n_0(j)})_{j\in\mathbb{N}} admet une suite extraite \scriptstyle (x^1_{n_1(j)})_{j\in\mathbb{N}} qui converge vers \scriptstyle x_1\in X_1 par compacité de \scriptstyle X_1, et \scriptstyle n_1 est une sous suite de \scriptstyle n_0 donc \scriptstyle (x^0_{n_1(j)})_{j\in\mathbb{N}} converge vers \scriptstyle x_0. Par récurrence, supposons qu'il existe une extractrice \scriptstyle n_p telle que pour tout \scriptstyle 0\le i\le p, \scriptstyle (x^i_{n_p(j)})_{j\in\mathbb{N}} converge vers \scriptstyle x_i. \scriptstyle (x^{p+1}_{n_{p}(j)})_{j\in\mathbb{N}} suite d'éléments de \scriptstyle X_{p+1}, donc admet une sous suite \scriptstyle (x^{p+1}_{n_{p+1}(j)})_{j\in\mathbb{N}} convergeant vers \scriptstyle x_{p+1}\in X_{p+1}, avec \scriptstyle n_{p+1} extraite de \scriptstyle n_p, ce qui prouve la récurrence, or la propriété est vérifiée pour p = 0 donc par récurrence on a l'existence d'éléments \scriptstyle x_i tels que pour tout \scriptstyle p, il existe une extractrice \scriptstyle n_p avec pour tout \scriptstyle 0\le i\le p, \scriptstyle (x^i_{n_p(j)})_{j\in\mathbb{N}} converge vers \scriptstyle x_i.

L'extractrice \scriptstyle (\phi(p))_{p\in\mathbb{N}}=(n_p(p))_{p\in\mathbb{N}} donne alors une suite extraite de \scriptstyle (x^i)_{i\in\mathbb{N}} qui converge vers \scriptstyle (x_i)_{i\in\mathbb{N}} par construction, ce qui achève la preuve puisqu'on est dans un espace métrique.
 

Démonstration dans le cas général

On va utiliser la propriété de Borel-Lebesgue pour les fermés: un espace \scriptstyle X est compact si seulement s'il est séparé et pour toute famille \scriptstyle \mathcal{F} de fermés de \scriptstyle X dont l'intersection finie d'éléments est non vide, alors : \scriptstyle \bigcap_{F \in \mathcal{F}} F est non vide. Comme tout produit de séparés est séparé pour la topologie produit, il reste à prouver que le produit de compacts vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et ce en utilisant le lemme de Zorn.

Soient donc \scriptstyle (X_\alpha)_{\alpha \in A} une famille de compacts, \scriptstyle X leur produit, et \scriptstyle \mathcal{F} une famille de fermés de \scriptstyle X dont l'intersection finie d'éléments est non vide. On notera \scriptstyle p_\alpha la projection de \scriptstyle X sur \scriptstyle X_\alpha.

Considérons l'ensemble des familles contenant (au sens de l'inclusion) \scriptstyle \mathcal{F} et dont les intersections finies d'éléments sont non vides. C'est un ensemble ordonné par l'inclusion et inductif. Il vérifie donc les hypothèses du lemme de Zorn, et admet par conséquent un élément maximal \scriptstyle \mathcal{F}^*.

Soit \scriptstyle \alpha \in A fixé. Comme l'intersection finie d'éléments de \scriptstyle \mathcal{F}^* est non vide, c'est aussi le cas de l'intersection finie de projections sur \scriptstyle X_\alpha d'éléments de \scriptstyle \mathcal{F}^*, donc de l'adhérence de tels éléments ; ainsi la famille \scriptstyle \left(\overline {p_\alpha(F)}\right)_{F\in \mathcal{F}^*} vérifie les hypothèses de la propriété de Borel-Lebesgue dans \scriptstyle X_\alpha compact, donc \scriptstyle \bigcap_{F\in \mathcal{F}^*}\overline{p_\alpha(F)} est un ensemble non vide.

On va alors considérer un élément \scriptstyle x=(x_\alpha)_{\alpha \in A} du produit de tous ces ensembles non vides (on utilise donc à nouveau l'axiome du choix) et montrer qu'il est dans l'intersection des éléments de \scriptstyle \mathcal{F}, qui sera alors non vide, ce qui achèvera la preuve.

On remarque tout d'abord que :

(L1) \scriptstyle \mathcal{F}^* est stable par intersection finie.

En effet, soit \scriptstyle F une intersection finie d'éléments de \scriptstyle \mathcal{F}^*. Alors l'ensemble \scriptstyle \mathcal{F}^*\bigcup \{F\} contient \scriptstyle \mathcal{F}^* et ses intersections finies font partie de celles de \scriptstyle \mathcal{F}^* donc sont non vides, si bien que (par maximalité de \scriptstyle \mathcal{F}^*) \scriptstyle \mathcal{F}^*\bigcup \{F\}=\mathcal{F}^*, i.e. \scriptstyle F\in\mathcal{F}^*.

Par un argument similaire, on en déduit que

(L2) si un ensemble intersecte tous les éléments de \scriptstyle \mathcal{F}^*, alors il appartient à \scriptstyle \mathcal{F}^*.

Soit \scriptstyle U ouvert de \scriptstyle \prod_{\alpha \in A} X_\alpha contenant \scriptstyle x: il existe \scriptstyle U_{\alpha_1} , .., U_{\alpha_n} ouverts respectifs de \scriptstyle X_{\alpha_1},.., X_{\alpha_n} tels que \scriptstyle U=U_{\alpha_1} \times .. \times U_{\alpha_n}\times \prod_{\alpha \ne \alpha_{1..n}}X_\alpha.

Alors soit \scriptstyle 1\le i\le n, on a \scriptstyle x_{\alpha_i} \in U_{\alpha_i}, ainsi \scriptstyle \forall F \in \mathcal{F}^*, \overline{p_{\alpha_i}(F)} \bigcap U_{\alpha_i}\ne \empty, or \scriptstyle U_{\alpha_i} ouvert donc \scriptstyle p_{\alpha_i}(F) \bigcap U_{\alpha_i}\ne \empty, donc \scriptstyle F \bigcap p_{\alpha_i}^{-1}(U_{\alpha_i})\ne \empty. Alors par (L2), \scriptstyle p_{\alpha_i}^{-1}(U_{\alpha_i})\in\mathcal{F}^*.

Donc par (L1), \scriptstyle U=\bigcap_{i=1}^n p_{\alpha_i}^{-1}(U_{\alpha_i})\in\mathcal{F}^*, donc \scriptstyle U intersecte tous les éléments de \scriptstyle \mathcal{F}^*, a fortiori de \scriptstyle \mathcal{F}.

Ainsi x est dans l'adhérence de tous les éléments de \scriptstyle \mathcal{F} qui sont fermés, donc x appartient à tous les éléments de \scriptstyle \mathcal{F} dont l'intersection est donc non vide, ce qui achève la preuve.

Remarque

On peut donner une démonstration élégante[1],[2],[3],[4] de ce théorème en utilisant la théorie des filtres.

Équivalence avec l'axiome du choix

Nous avons précédemment évoqué l'équivalence du théorème de Tychonov avec l'axiome du choix. Il est important de noter que cette équivalence n'a lieu que s'il on considère la définition anglophone de la compacité, qui correspond à la quasi-compacité francophone (l'espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue mais n'est pas séparé a priori). Dans le cas de la compacité francophone (on impose de plus que l'espace soit séparé), le théorème de Tychonov est équivalent à une version strictement plus faible de l'axiome du choix : le Boolean prime ideal theorem.

Pour prouver cette équivalence (dans le cas anglophone), nous allons utiliser une légère variante de la topologie cofinie (preuve due à J.L. Kelley) qui possède une propriété très intéressante: tout espace est quasi-compact pour la topologie cofinie.

Soit donc \scriptstyle \scriptstyle (A_i)_{i\in I} une famille d'ensemble, nous voulons montrer \scriptstyle \prod_{i\in I} A_i \ne \empty. On suppose, quitte à réindexer par un ensemble \scriptstyle I' que \scriptstyle \forall i \in I, i\not\in A_i. Alors, on pose \scriptstyle X_i=A_i\bigcup {i}, et on munit \scriptstyle X_i de la topologie \scriptstyle \tau_i formée de l'ensemble vide, de tous les ensembles de complémentaire fini, et du singleton \scriptstyle \{i\} (On vérifiera qu'on a alors bien une topologie, et que \scriptstyle X_i est alors compact). Par Tychonov, le produit \scriptstyle X des \scriptstyle X_i est compact.

On remarque que, en notant \scriptstyle p_i la projection sur \scriptstyle X_i, on a: \scriptstyle \prod_{i\in I} A_i =\bigcap_{i\in I} p_i^{-1}(A_i). Or X est compact: pour montrer que \scriptstyle \bigcap_{i\in I} p_i^{-1}(A_i)\ne\empty on va se servir de la contraposée de la propriété de Borel-Lebesgue pour les fermés: si chaque \scriptstyle p_i^{-1}(A_i) est fermé et que toute intersection finie de \scriptstyle p_i^{-1}(A_i) est non vide, alors l'intersection des \scriptstyle p_i^{-1}(A_i) est non vide, ce qui achèvera la preuve.

Or \scriptstyle \forall i \in Icomme \scriptstyle A_i est le complémentaire de \scriptstyle \{i\} ouvert, \scriptstyle A_i est fermé. Donc par continuité de la projection \scriptstyle p_i, \scriptstyle p_i^{-1}(A_i)=A_i\times\prod_{k\ne i} X_i est fermé. De plus soit \scriptstyle i_1..i_n\in I, alors \scriptstyle \bigcap_{k=1}^n p_{i_k}^{-1}(A_{i_k})=A_{i_1}\times ..\times A_{i_n} \times \prod _{i\not\in \{i_1..i_n\}}X_i qui est non vide: en effet en choisissant \scriptstyle a_1..a_n éléments respectifs de \scriptstyle A_1.. A_n on peut définir \scriptstyle f:I\rightarrow (\bigcup_{k=1}^n A_{i_k})\bigcup (\bigcup_{i\not\in \{i_1..i_n\}}X_i) par \scriptstyle f(i_1)=a_1..f(i_n)=a_n et \scriptstyle f(i)=i si \scriptstyle i\not\in\{i_1..i_n\} (c'est ici qu'intervient de manière cruciale le passage de Ai à AXi) on a donc bien la propriété annoncée.

Notes

  1. ↑ N. Bourbaki, Eléments de mathématique, Topologie générale, chapitre I
  2. ↑ Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Édition Dunod, Collection Sciences Sup, 2001
  3. ↑ Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Édition Hermann, Collection Méthodes, 1995
  4. ↑ Olivier Brinon, LE THEOREME DE TYCHONOFF

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Tychonov de Wikipédia en français (auteurs)

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