Théorème de Hessenberg

Théorème de Hessenberg

Théorème d'Hessenberg

En géométrie projective, le théorème d’Hessenberg fait le lien entre le théorème de Pappus et le théorème de Desargues.

On s’intéresse ici au théorème d'Hessenberg dans sa version projective (il existe également une version affine qui s'en déduit aisément).

Énoncé succinct

Un plan projectif de Pappus (PPP) est arguésien (PPA).

Énoncé moins ésotérique

Étant donnés deux triangles ABC et A'B'C', si (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes (en O) alors les 3 points d'intersection des côtés homologues des triangles ((AB) ∩ (A'B'), (AC) ∩ (A'C') et (BC) ∩ (BC')) sont alignés.

Démonstration

Une démonstration possible, n'ayant pas besoin du théorème fondamental de la géométrie projective, ne nécessite seulement que la création de points d'intersection supplémentaires et l'emploi à trois reprises de l'axiome de Pappus.

Nous avons deux triangles ABC et A'B'C' en perspective depuis le point O. Nous définissons des points auxiliaires :

T = (AC) ∩ (A'C') ; U = (AB) ∩ (A'B') ; D = (AB) ∩ (OT) ; E = (DB') ∩ (A'C') ; F = (EA) ∩ (OC') et V = (EA) ∩ (OB'),

ainsi que des droites auxiliaires :

Γ = (DF) et Δ = (TV).

Le but est de montrer que U est sur Δ et que les points W = (BC) ∩ Γ et W' = (B'C') ∩ Γ sont confondus. Hessenberg.PNG

On applique l’axiome de Pappus aux alignements :

  • OAA' et EB'D ce qui donne T, V, U alignés (sur Δ = (TV) par conséquent)
  • OFC et ABD ce qui donne T, V, W alignés (sur Δ par conséquent)
  • OFC' et EB'D ce qui donne T, V, W' alignés (sur Δ par conséquent)

Il s'ensuit que W et W' sont à la fois sur Δ et Γ, donc sont un point unique (un axiome des PPI).

Ainsi T, U et W sont sur Δ. Or nous avions défini W sur (BC) et W' sur (B'C'), donc W = (BC) ∩ (B'C').

Nous avons bien démontré le théorème d’Hessenberg i.e. que les intersections respectives de (AB), (BC) et (CA) avec (A'B'), (B'C') et (C'A') sont alignées. C.Q.F.D.


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