Théorème de Herbrand-Ribet

Théorème de Herbrand-Ribet

Le théorème de Herbrand-Ribet est un renforcement du théorème de Kummer avec pour effet le fait que le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de Bn.

Le groupe de Galois Σ du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec ζp = 1, est constitué des p − 1 éléments σa, où σa est défini par le fait que σa(ζ) = ζa. Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques ℤp, nous avons p − 1 racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1 ; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet ω (le caractère de Teichmüller) à valeurs dans ℤp en requérant que pour n premier à p, ω(n) soit congru à n modulo p. La partie p du groupe de classes est un ℤp-module, et nous pouvons appliquer les éléments de l'anneau ℤp[Σ] vers elle et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme

\epsilon_n=\frac1{p-1}\sum_{a=1}^{p-1}\omega(a)\sigma_a^{-1}.

Nous pouvons maintenant séparer la partie p du groupe des classes d'idéaux G de ℚ(ζ) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors \scriptstyle G_n=\epsilon_n(G).

Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : Gn est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli Bp − n. La partie exprimant p divise Bp − n si Gn est non trivial est due à Jacques Herbrand. La réciproque (si p divise Bp − n alors Gn est non trivial) est due à Ken Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifiée du corps des racines p-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré p qui se comporte de la manière prescrite sous l'action de Σ ; Ribet démontra ceci en 1976, par une construction concrète d'une telle extension.

Voir aussi

Théorie d'Iwasawa



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