Théorème de Herbrand-Ribet

Théorème de Herbrand-Ribet

Le théorème de Herbrand-Ribet est un renforcement du théorème de Kummer avec pour effet le fait que le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli Bn pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de Bn.

Le groupe de Galois Σ du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec ζp = 1, est constitué des p − 1 éléments σa, où σa est défini par le fait que σa(ζ) = ζa. Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques ℤp, nous avons p − 1 racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1 ; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet ω (le caractère de Teichmüller) à valeurs dans ℤp en requérant que pour n premier à p, ω(n) soit congru à n modulo p. La partie p du groupe de classes est un ℤp-module, et nous pouvons appliquer les éléments de l'anneau ℤp[Σ] vers elle et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme

\epsilon_n=\frac1{p-1}\sum_{a=1}^{p-1}\omega(a)\sigma_a^{-1}.

Nous pouvons maintenant séparer la partie p du groupe des classes d'idéaux G de ℚ(ζ) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors \scriptstyle G_n=\epsilon_n(G).

Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : Gn est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli Bp − n. La partie exprimant p divise Bp − n si Gn est non trivial est due à Jacques Herbrand. La réciproque (si p divise Bp − n alors Gn est non trivial) est due à Ken Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifiée du corps des racines p-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré p qui se comporte de la manière prescrite sous l'action de Σ ; Ribet démontra ceci en 1976, par une construction concrète d'une telle extension.

Voir aussi

Théorie d'Iwasawa



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Herbrand-Ribet de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Herbrand-Ribet — Théorème de Herbrand Ribet Le théorème de Herbrand Ribet est un renforcement du théorème de Kummer avec pour effet le fait que le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p ièmes de l unité si et seulement si …   Wikipédia en Français

  • Théorème de herbrand-ribet — Le théorème de Herbrand Ribet est un renforcement du théorème de Kummer avec pour effet le fait que le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p ièmes de l unité si et seulement si p divise le dénominateur… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Stickelberger — En mathématiques, le théorème de Stickelberger est un résultat de la théorie algébrique des nombres, qui donne certaines informations sur la structure du module de Galois des groupes de classes des corps cyclotomiques. Il est a été démontré par… …   Wikipédia en Français

  • Jacques Herbrand — Pour les articles homonymes, voir Herbrand. Dernière photographie de Jacques Herbrand prise au cours de l excursion où il trouva la mort Jacques Herbrand, né à Paris le 12 février …   Wikipédia en Français

  • Kenneth Alan Ribet — Ken Ribet Ken Ribet en 2007 au CIRM Naissance 28 juin 1948 (États Unis) Domicile États Unis Nationalité …   Wikipédia en Français

  • Demonstrations du petit theoreme de Fermat — Petit théorème de Fermat Pierre de Fermat propose le théorème sans apporter de démonstration. En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l arithmétique …   Wikipédia en Français

  • Démonstrations Du Petit Théorème De Fermat — Petit théorème de Fermat Pierre de Fermat propose le théorème sans apporter de démonstration. En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l arithmétique …   Wikipédia en Français

  • Démonstrations du petit théorème de Fermat — Petit théorème de Fermat Pierre de Fermat propose le théorème sans apporter de démonstration. En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l arithmétique …   Wikipédia en Français

  • Démonstrations du petit théorème de fermat — Petit théorème de Fermat Pierre de Fermat propose le théorème sans apporter de démonstration. En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l arithmétique …   Wikipédia en Français

  • Petit theoreme de Fermat — Petit théorème de Fermat Pierre de Fermat propose le théorème sans apporter de démonstration. En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l arithmétique …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”