Théorème de Darboux (analyse)

Pour l’article homonyme, voir Théorème de Darboux (géométrie).

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème de Darboux est un théorème nommé en l'honneur du mathématicien Gaston Darboux qui stipule que les fonctions dérivées de fonctions numériques vérifient la propriété des valeurs intermédiaires.

Sommaire

1 Historique
2 Énoncé
3 Démonstration
- 3.1 Première démonstration
- 3.2 Seconde démonstration
4 Applications
5 Bibliographie

Historique

Une fonction f de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires si, u et v étant les deux valeurs prises par f respectivement en deux points quelconques a et en b, toutes les valeurs comprises entre u et v sont également prises par f lorsque la variable varie de a à b. C'est le cas des fonctions continues, ce résultat constituant le théorème des valeurs intermédiaires.

Au XIX^e siècle, la plupart des mathématiciens pensaient que, réciproquement, une fonction f qui vérifiait la propriété des valeurs intermédiaires était nécessairement continue sur un intervalle I contenu dans [a, b] pour lequel f(I) = [u,v]. Autrement dit, la propriété des valeurs intermédiaires serait une caractéristique des fonctions continues. En 1875, Gaston Darboux mit un terme à cette conviction en prouvant d'une part qu'il existait des fonctions dérivables dont la dérivée n'était continue sur aucun intervalle, et, d'autre part, que toute fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

Darboux donne l'exemple suivant. Il utilise une première fonction, qui est dérivable en tout point, mais dont la dérivée est discontinue en 0 :

$\phi:\R \rightarrow \R,\ x \mapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \text{ pour }x \neq 0,\ \phi(0)=0 \text{ sinon}$ .

Pour toute série $\sum a_n$ absolument convergente, il définit ensuite la fonction :

$F : x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} \phi(\sin(nx\pi))$

Il prouve que cette fonction est dérivable en tout point de dérivée :

$f : x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} \pi a_n \phi'(\sin(nx\pi)) \cos(nx\pi)$

et que cette dérivée n'est continue sur aucun intervalle.

La fonction f ci-dessus vérifie donc la propriété des valeurs intermédiaires sur tout intervalle, tout en n'étant continue sur aucun intervalle.

Depuis, on appelle fonction de Darboux toute fonction vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires. Toute fonction continue est une fonction de Darboux. Le théorème de Darboux consiste donc à montrer que toute fonction dérivée est également une fonction de Darboux.

Énoncé

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle réel $I$ , non vide et non réduit à un point, à valeurs réelles, et soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$ . Alors pour tout $y$ strictement compris entre $\scriptstyle f'(a)$ et $\scriptstyle f'(b)$ , il existe $x$ strictement compris entre $a$ et $b$ tel que $\scriptstyle f'(x)=y$ .

Autre énoncé : Soit $I$ un intervalle réel non vide et non réduit à un point, et soit $f$ une application définie sur $I$ à valeurs réelles. Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $\scriptstyle f'(I)$ est un intervalle.

Démonstration

Deux démonstrations sont proposées. La première est une démonstration classique, elle utilise des propriétés élémentaires d'analyse. La seconde fait appel à des notions de topologie, ce qui la rend élégante mais plus sophistiquée. On supposera par exemple $a < b$ .

Première démonstration

En reprenant les notations de l'énoncé : considérons la fonction $g:[a,b] \rightarrow \R$ définie par

$\forall x \in [a,b],\ g(x) = f(x) - xy$

où $y$ est un réel strictement compris entre $\scriptstyle f'(a)$ et $\scriptstyle f'(b)$ .

La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[a, b]$ et

$\forall x \in [a,b],\ g'(x) = f'(x) - y$

En particulier, $\scriptstyle g'(a) = f'(a) - y$ et $\scriptstyle g'(b) = f'(b) - y$ , donc $\scriptstyle g'(a) <0$ et $\scriptstyle g'(b) >0$ par définition de $y$ .

La fonction $g$ étant dérivable sur $[a, b]$ , elle y est continue, et donc elle y admet un minimum.

La fonction $g$ ne peut avoir un minimum en $a$ , car sinon, on aurait, pour $x \in ]a,b]$ :

$\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \ge 0$

et en prenant la limite de ce rapport quand $x$ tend vers $a$ , on aurait $\scriptstyle g'(a) \geq 0$ , ce qui est impossible.

De même, on montre que $g$ ne peut avoir un minimum en $b$ .

Il en résulte que ce minimum est atteint en un point $x_0 \in ]a,b[$ . On a alors $\scriptstyle g'(x_0)=0$ , d'où $\scriptstyle f'(x_0)=y$ .

Seconde démonstration

Reprenons les notations du second énoncé.

Soit $T = \{(x,y) \in I \times I, x<y\}$ et $g$ la fonction définie sur $T$ par $g(x,y) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ .

L'ensemble $T$ est une partie connexe de $\R^2$ (c'est un triangle) et $g$ est continue donc $g (T)$ est une partie connexe de $\R$ , c'est-à-dire un intervalle.

Par ailleurs, $f'(I) \subset \overline{g(T)}$ (par définition de la dérivée) et le théorème des accroissements finis dit exactement que $g(T) \subset f'(I)$ .

L'image de $I$ par $f'$ est donc coincée entre l'intervalle $g (T)$ et son adhérence, par conséquent c'est un intervalle.

Applications

Ce théorème peut servir à montrer qu'une fonction n'admet pas de primitive, en montrant qu'il existe un intervalle sur lequel cette fonction ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires. Un exemple trivial est donné par la fonction partie entière.

Bibliographie

G. Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues, Ann. Sci. E.N.S. 4 (1875) 57-112, en particulier p. 109-110

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