Théorème de Cauchy-Kowalevski

Théorème de Cauchy-Kowalevski
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Cauchy.

Le théorème de Cauchy-Kowalevski est un théorème d'analyse à plusieurs variables stipulant qu'une équation aux dérivées partielles du type équation de Klein-Gordon est bien posée, c'est-à-dire que cette équation admet une solution unique si les conditions initiales sur les fonctions concernées sont bien posées. Il est l'œuvre du mathématicien français Augustin Cauchy pour un cas particulier, et de Sofia Kovalevskaïa pour le cas général.

Plus précisément, ce théorème peut s'énoncer ainsi :

Théorème — Soient t, x1, x2,... xn − 1 des coordonnées de Rn. Si l'on considère un système de m équations aux dérivées partielles portant sur des fonctions ϕi, de la forme

\frac{\partial^2 \phi_i}{\partial t^2} = F_i\left(t, x^a, \frac{\partial\phi_j}{\partial t}, \frac{\partial\phi_j}{\partial x^a}, \frac{\partial^2\phi_j}{\partial t \partial x^a}, \frac{\partial^2\phi_j }{\partial x^a\partial x^b}\right)\qquad(1),

où les fonctions Fi sont des fonctions analytiques de leurs variables, alors, si l'on se donne des fonctions analytiques fi(xa) et gi(xa), il existe un voisinage ouvert O de l'hypersurface t = t0 dans lequel il existe une solution analytique unique de (1) telle que

\phi_i(t_0, x^a) = f_i(x^a) \quad{\text{et}}\quad \frac{\partial \phi_i}{\partial t}(t_0, x^a) = g_i (x^a).

Le théorème de Cauchy-Kowalevski assure qu'une équation de type Klein-Gordon peut être bien posée au sens mathématique du terme (c'est-à-dire qu'il en existe une solution unique une fois les conditions initiales connues), du moins quand les conditions initiales (sur ϕ et sa dérivée temporelle à l'instant initial) sont analytiques. Le théorème reste cependant relativement faible. En particulier, il ne précise pas si la solution de l'équation est analytique, ou même simplement continue vis-à-vis des conditions initiales. Plus important, il ne précise pas non plus si une équation du type Klein-Gordon se comporte de façon causale. Par exemple, si le champ est nul sur un intervalle [ − x,x] à l'instant t0, l'on s'attend à ce que le champ reste nul en 0 jusqu'au temps t0 + x / c, ce que le théorème de Cauchy-Kowalevski ne précise pas (ne serait-ce que parce qu'une telle condition initiale serait non analytique et ne saurait être traitée par ce théorème).

Référence

Lien externe


v · Augustin Louis Cauchy
Règle de Cauchy • Produit de Cauchy • Critère de Cauchy • Théorème de Cauchy-Lipschitz • Équations de Cauchy-Riemann • Inégalité de Cauchy • Théorème de Cauchy • Loi de Cauchy • Formule de Binet-Cauchy
Théorème de la moyenne de Cauchy • Théorème de Cauchy-Kovalevskaïa • Théorème intégral de Cauchy • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Formule intégrale de Cauchy

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Cauchy-Kowalevski de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Cauchy-Kowalevski — Théorème de Cauchy Kowalevski Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Le théorème de Cauchy Kowalevski est un théorème d analyse à plusieurs variables stipulant qu une équation aux dérivées partielles du type équation de Klein Gordon est bien… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de cauchy-kowalevski — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Le théorème de Cauchy Kowalevski est un théorème d analyse à plusieurs variables stipulant qu une équation aux dérivées partielles du type équation de Klein Gordon est bien posée, c est à dire que cette… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cauchy-Kovalevskaya — Théorème de Cauchy Kowalevski Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Le théorème de Cauchy Kowalevski est un théorème d analyse à plusieurs variables stipulant qu une équation aux dérivées partielles du type équation de Klein Gordon est bien… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cauchy-Kovalevskaïa — Théorème de Cauchy Kowalevski Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Le théorème de Cauchy Kowalevski est un théorème d analyse à plusieurs variables stipulant qu une équation aux dérivées partielles du type équation de Klein Gordon est bien… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Cauchy-Lipschitz — Théorème de Cauchy Lipschitz Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Cauchy développe une première version du théorème de l article. Le …   Wikipédia en Français

  • Théorème de cauchy-lipschitz — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Cauchy développe une première version du théorème de l article. Le …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cauchy-Lipschitz — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Cauchy développe une première version du théorème de l article. En mathématiques, et plus précisément en a …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Picard-Lindelöf — Théorème de Cauchy Lipschitz Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Cauchy développe une première version du théorème de l article. Le …   Wikipédia en Français

  • Cauchy — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom.  Cette page d’homonymie répertorie des personnes (réelles ou fictives) partageant un même patronyme. Patronyme Augustin Louis Cauchy (1789 1857),… …   Wikipédia en Français

  • Sophie Kowalevski — Sofia Kovalevskaïa Sofia Kovalevskaïa Sofia Vassilievna Kovalevskaïa (également Sonia, Sofa ; en russe : Софья Васильевна Ковалевская ; en français et en allemand elle signe Sophie Kowalevski) est une mathématicienne russe née à… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”