Réduction de Gauss

En mathématiques, la réduction de Gauss est un algorithme permettant de représenter toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie (sur un corps commutatif de caractéristique différente de deux) comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. La méthode employée est proche de la mise sous forme canonique d'une équation du second degré. Cet algorithme est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Enoncé

Réduction de Gauss — Pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie, il existe un entier naturel $r$ , des formes linéaires $l_1,l_2,\ldots,l_r$ indépendantes et des éléments $c_1,\ldots, c_r$ du corps de base, tous non nuls, tels que

$q=\sum_{i=1}^r c_i l_i^2.$

Démonstration

Dans une base $e_1,\ldots,e_n$ , la forme quadratique s'écrit

$q(x)=\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j,$

avec $a i j = a j i$ .

On procède par récurrence sur le nombre des coordonnées $x k$ qui figurent réellement dans cette expression de q (c'est-à-dire le nombre d'indices k pour lesquels au moins un $a k i$ est non nul).

Si ce nombre est 0 (c'est-à-dire si q est nulle) il n'y a rien à montrer : on prend juste r=0.

Supposons donc q non nulle. On distingue deux cas.

1) L'un des coefficients $a i i$ est non nul.

On peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que $a_{11}\neq 0$ . On écrit séparément les termes où $x 1$ intervient :

$q(x)= a_{11}x_1^2+ 2\sum_{i=2}^na_{1i}x_1x_i +\sum_{2\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j.$

On applique à ces derniers la technique de résolution d'une équation du second degré :

$a_{11}x_1^2+ 2\sum_{i=2}^na_{1i}x_1x_i=a_{11}\big(x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i\big)^2 - \frac{1}{a_{11}}\big( \sum_{i=2}^na_{1i} x_i\big)^2 .$

On obtient ainsi que

$q(x) =a_{11}\big(x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i\big)^2 + q^\prime(x);$

où $q^\prime$ est un polynôme homogène de degré deux par rapport à $x_2,\ldots x_n$ , autrement dit une forme quadratique sur l'espace vectoriel engendré par $e_2,\ldots,e_n$ . L'hypothèse de récurrence nous dit que

$q^\prime =\sum_{i=2}^s c_il_i^2,$

où les $l i$ sont des combinaisons linéaires de $x_2,\ldots, x_n$ , d'où le résultat avec $c 1 = a 11$ et

$l_1(x)=x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i.$

2) Tous les $a i i$ sont nuls.

Puisque q est supposée non nulle, il existe des entiers $i\ne j$ tels que $a_{ij}\not=0$ . Comme dans le premier cas, on peut supposer qu'il s'agit de $a 12$ . On écrit

$q(x)= 2a_{12}x_1x_2+ 2x_1(\sum_{i=3}^na_{1i}x_i) +2x_2(\sum_{i=3}^na_{2i}x_i)+\sum_{3\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j.$

La somme des termes en $x 1$ ou $x 2$ s'écrit aussi

$2( a_{12}x_1+ \sum_{i=3}^na_{2i}x_i)(x_2+\frac{1}{a_{12}}\sum_{i=3}^na_{1i}x_i)-\frac{2}{a_{12}}(\sum_{i=3}^na_{2i}x_i)(\sum_{i=3}^na_{1i}x_i).$

On voit que $\,q(x)$ est de la forme

$2l_1(x)l_2(x)+ q^\prime(x),$

où $q^\prime$ ne dépend que de $x_3,\ldots x_n$ . On conclut en appliquant l'hypothèse de récurrence à $q^\prime$ , et en remarquant que $4 l 1 l 2 = (l 1 + l 2) 2 - (l 1 - l 2) 2$ .

En langage matriciel, cela signifie que toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale, c'est-à-dire que pour toute matrice symétrique $M$ d'ordre $n$ , il existe une matrice inversible $Q$ telle que $t Q M Q$ soit diagonale (les coefficients diagonaux sont les $c_1,\ldots, c_r$ complétés par des zéros si $r < n$ ).

L'entier $r$ est le rang de la forme quadratique. C'est aussi le rang de n'importe quelle matrice représentant cette forme dans une base.

Contrairement aux valeurs propres, les $c i$ ne sont pas uniques, même à permutation près.

Exemples

Soit $q\,$ une forme quadratique sur l'espace vectoriel $\R^3$ définie par

$q(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3-2x_3x_1\,$

(On a désigné par $x_1,x_2,x_3\,$ un élément $x\,$ de $\R^3$ )

Alors $\quad q(x)=(x_1-x_2-x_3)^2-4x_2x_3=(x_1-x_2-x_3)^2-(x_2+x_3)^2+(x_2-x_3)^2$ .

Autre exemple : $q(x)=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\,$

On a alors $q(x)=(x_1+x_3)(x_2+x_3)-x_3^2= \frac{1}{4}(x_1+x_2+2x_3)^2-\frac{1}{4}(x_1-x_2)^2-x_3^2.$

Applications

Si le corps de base est $\mathbb{C}$ le corps des nombres complexes ou plus généralement un corps algébriquement clos, il existe $r$ formes linéaires indépendantes $l_1,\ldots,l_r$ telles que

$q=\sum_{i=1}^rl_i^2.$

Autrement dit, sous l'action du groupe linéaire, les formes quadratiques sont classées par leur rang. En langage matriciel, deux matrices symétriques complexes sont congruentes si et seulement si elles ont le même rang.

Si le corps de base est $\mathbb{R},$ le corps des nombres réels, il faut prendre en compte le signe des $c i$ . Il existe un entier $s$ (compris entre 0 et r) tel que

$q=-\sum_{i=1}^sl_i^2+\big(\sum_{i=s+1}^rl_i^2\big).$

Cet entier ne dépend pas de la décomposition d'après la loi d'inertie de Sylvester.

Si s=0, la forme quadratique est positive (définie positive si et seulement si de plus r=n),
si s=r elle est négative (définie négative si et seulement si de plus r=n).

Si le corps de base est $\mathbb{Q}$ le corps des nombres rationnels ou $\mathbb{F}_q$ un corps fini, la réduction de Gauss ne permet pas d'effectuer complètement la classification des formes quadratiques.

Elle donne un algorithme pour trouver une base dans laquelle la matrice de q est diagonale.

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