Réduction de Gauss

Réduction de Gauss

En mathématiques, la réduction de Gauss est un algorithme permettant de représenter toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie (sur un corps commutatif de caractéristique différente de deux) comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. La méthode employée est proche de la mise sous forme canonique d'une équation du second degré. Cet algorithme est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Sommaire

Enoncé

Réduction de Gauss — Pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie, il existe un entier naturel r, des formes linéaires l_1,l_2,\ldots,l_r indépendantes et des éléments c_1,\ldots, c_r du corps de base, tous non nuls, tels que

q=\sum_{i=1}^r c_i l_i^2.
Démonstration

Dans une base e_1,\ldots,e_n, la forme quadratique s'écrit

q(x)=\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j,

avec aij = aji.

On procède par récurrence sur le nombre des coordonnées xk qui figurent réellement dans cette expression de q (c'est-à-dire le nombre d'indices k pour lesquels au moins un aki est non nul).

Si ce nombre est 0 (c'est-à-dire si q est nulle) il n'y a rien à montrer : on prend juste r=0.

Supposons donc q non nulle. On distingue deux cas.

1) L'un des coefficients aii est non nul.

On peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que a_{11}\neq 0. On écrit séparément les termes où x1 intervient :

q(x)= a_{11}x_1^2+ 2\sum_{i=2}^na_{1i}x_1x_i +\sum_{2\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j.

On applique à ces derniers la technique de résolution d'une équation du second degré :

a_{11}x_1^2+ 2\sum_{i=2}^na_{1i}x_1x_i=a_{11}\big(x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i\big)^2 - \frac{1}{a_{11}}\big( \sum_{i=2}^na_{1i} x_i\big)^2 .

On obtient ainsi que

q(x) =a_{11}\big(x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i\big)^2 + q^\prime(x);

où q^\prime est un polynôme homogène de degré deux par rapport à x_2,\ldots x_n, autrement dit une forme quadratique sur l'espace vectoriel engendré par e_2,\ldots,e_n. L'hypothèse de récurrence nous dit que

q^\prime =\sum_{i=2}^s c_il_i^2,

où les li sont des combinaisons linéaires de x_2,\ldots, x_n, d'où le résultat avec c1 = a11 et

l_1(x)=x_1+ \sum_{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}x_i.

2) Tous les aii sont nuls.

Puisque q est supposée non nulle, il existe des entiers i\ne j tels que a_{ij}\not=0. Comme dans le premier cas, on peut supposer qu'il s'agit de a12. On écrit

q(x)= 2a_{12}x_1x_2+ 2x_1(\sum_{i=3}^na_{1i}x_i) +2x_2(\sum_{i=3}^na_{2i}x_i)+\sum_{3\le i,j\le n}a_{ij}x_ix_j.

La somme des termes en x1 ou x2 s'écrit aussi

2( a_{12}x_1+ \sum_{i=3}^na_{2i}x_i)(x_2+\frac{1}{a_{12}}\sum_{i=3}^na_{1i}x_i)-\frac{2}{a_{12}}(\sum_{i=3}^na_{2i}x_i)(\sum_{i=3}^na_{1i}x_i).

On voit que \,q(x) est de la forme

2l_1(x)l_2(x)+ q^\prime(x),

où q^\prime ne dépend que de x_3,\ldots x_n. On conclut en appliquant l'hypothèse de récurrence à q^\prime , et en remarquant que 4l1l2 = (l1 + l2)2 − (l1 − l2)2.

En langage matriciel, cela signifie que toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale, c'est-à-dire que pour toute matrice symétrique M d'ordre n, il existe une matrice inversible Q telle que tQMQ soit diagonale (les coefficients diagonaux sont les c_1,\ldots, c_r complétés par des zéros si r < n).

L'entier r est le rang de la forme quadratique. C'est aussi le rang de n'importe quelle matrice représentant cette forme dans une base.

Contrairement aux valeurs propres, les ci ne sont pas uniques, même à permutation près.

Exemples

  • Soit q\, une forme quadratique sur l'espace vectoriel \R^3 définie par

q(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3-2x_3x_1\,

(On a désigné par x_1,x_2,x_3\, un élément x\, de \R^3)


Alors \quad q(x)=(x_1-x_2-x_3)^2-4x_2x_3=(x_1-x_2-x_3)^2-(x_2+x_3)^2+(x_2-x_3)^2.

  • Autre exemple : q(x)=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\,

On a alors q(x)=(x_1+x_3)(x_2+x_3)-x_3^2= \frac{1}{4}(x_1+x_2+2x_3)^2-\frac{1}{4}(x_1-x_2)^2-x_3^2.

Applications

Si le corps de base est \mathbb{C} le corps des nombres complexes ou plus généralement un corps algébriquement clos, il existe r formes linéaires indépendantes l_1,\ldots,l_r telles que

q=\sum_{i=1}^rl_i^2.

Autrement dit, sous l'action du groupe linéaire, les formes quadratiques sont classées par leur rang. En langage matriciel, deux matrices symétriques complexes sont congruentes si et seulement si elles ont le même rang.

Si le corps de base est \mathbb{R}, le corps des nombres réels, il faut prendre en compte le signe des ci. Il existe un entier s (compris entre 0 et r) tel que

q=-\sum_{i=1}^sl_i^2+\big(\sum_{i=s+1}^rl_i^2\big).

Cet entier ne dépend pas de la décomposition d'après la loi d'inertie de Sylvester.

  • Si s=0, la forme quadratique est positive (définie positive si et seulement si de plus r=n),
  • si s=r elle est négative (définie négative si et seulement si de plus r=n).

Si le corps de base est \mathbb{Q} le corps des nombres rationnels ou \mathbb{F}_q un corps fini, la réduction de Gauss ne permet pas d'effectuer complètement la classification des formes quadratiques.

Elle donne un algorithme pour trouver une base dans laquelle la matrice de q est diagonale.

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