Propriété universelle du produit

Propriété universelle du produit

Propriété universelle

En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur.

Sommaire

Propriété universelle des modules quotients

Soient \displaystyle M et \displaystyle X deux A-modules, soit \displaystyle N un sous-module de \displaystyle M, soit f : M \longrightarrow X une application A-linéaire.

Alors il existe une unique application g : \frac{M}{N} \longrightarrow X A-linaire telle que g \circ \pi = f ssi N \subset Ker f, i.e. ssi \displaystyle f est constante sur les classes, avec \pi : \begin{matrix} M & \longrightarrow & \frac{M}{N} \\ x & \mapsto & \bar x \end{matrix} la surjection canonique.

\displaystyle g est l'application déduite de \displaystyle f par passage au quotient ; et on a le diagramme :

\begin{matrix} M & \displaystyle\xrightarrow{f} & X \\ \pi \downarrow & \displaystyle\nearrow g \\ \displaystyle\frac{M}{N} \end{matrix}


Propriété universelle de la somme directe externe

Soit A un anneau ; soit (X_i)_{i\in I} une famille de A-modules, Y un A-module ; soit (f_i : X_i\longrightarrow Y)_{i\in I} une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application \phi : \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i\longrightarrow Y A-linéaire telle que : \forall i\in I, \phi \circ q_i = f_i avec  \begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} X_k\\ &\scriptstyle x_i & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} l'injection canonique.


Propriété universelle des modules libres

Soit M un module libre de base (e_i)_{i\in I} ; soit Y un autre module, soit (y_i)_{i\in I} une famille de vecteurs de Y.

Alors il existe une unique application linéaire f : M \longrightarrow Y telle que \forall i\in I,  \displaystyle f(e_i) = y_i



Propriété universelle du produit

Soit (X_i)_{i \in I} une famille de A-modules ; soit \displaystyle M un A-module ; soit (f_i : M \longrightarrow X_i)_{i\in I} une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application linéaire f : M \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i telle que p_i \circ f = f_i

avec p_i : \begin{matrix} \prod_{k \in I} X_k & \longrightarrow & X_i \\ \scriptstyle(x_k)_{k \in I} & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle x_i \end{matrix} l'i-ème projection canonique.

On a donc le diagramme suivant :

\begin{matrix} & M  \longrightarrow  X_i \\ & \scriptstyle f \displaystyle \searrow  \displaystyle \uparrow \scriptstyle p_i \\ & \prod_{i \in I} X_i \end{matrix}



Propriété universelle des anneaux fractionnaires

Soit \displaystyle A un anneau commutatif ; soit \displaystyle S une partie multiplicative de \displaystyle A ; soit \displaystyle X un anneau commutatif, et f : A \longrightarrow X un morphisme d'anneau tel que : \forall s \in S, f(s) inversible. On définit la relation d'équivalence \sim sur A \times S par (a,s)\times (b,t) \leftrightarrow \exists u \in S, u(at-bs) = 0.

Alors il existe un unique morphisme g : \frac {A \times S}{\sim} \longrightarrow X tel que g \circ \theta = f, avec \theta : \begin{matrix} A & \longrightarrow & \frac{A\times S}{\sim} \\ a & \mapsto & \overline {(a,1_A)} \end{matrix} On a le diagramme suivant :

\begin{matrix} A & \xrightarrow {f} & X \\ \theta \downarrow & \nearrow g \\ \frac {A \times S}{\sim} \end{matrix}



Propriété universelle des corps fractionnaires

Cette propriété universelle est un cas particulier de la propriété universelle des anneaux fractionnaires.

Soit \displaystyle A un anneau commutatif intègre; soit \displaystyle A^{*} l'ensemble des éléments non nulls de \displaystyle A ; soit \displaystyle X un anneau commutatif, et f : A \longrightarrow X un morphisme d'anneau. On définit la relation d'équivalence \sim sur A \times A^{*} par (a,s)\times (b,t) \leftrightarrow (at-bs) = 0.

Alors il existe un unique morphisme g : \frac {A \times A^{*}}{\sim} \longrightarrow X tel que g \circ \theta = f.

\frac {A \times A^{*}}{\sim} est un corps.


Propriété universelle des algèbres

Soient \displaystyle R un corps, \displaystyle A une R-algèbre, \displaystyle I un idéal bilatère de \displaystyle A, \displaystyle B une R-algèbre. Soit f : A \longrightarrow B un morphisme d'algèbre tel que I \subset ker f.

Alors il existe un unique morphisme d'algèbre g : \frac A I \longrightarrow B tel que g \circ \pi = f avec \displaystyle \pi la surjection canonique.

\begin{matrix} A & \displaystyle\xrightarrow{f} & B \\ \pi \downarrow & \displaystyle\nearrow g \\ \displaystyle\frac{A}{I} \end{matrix}



Propriété universelle des groupes quotients

Cette propriété est similaire à celle des modules quotients.

Soient \displaystyle G et \displaystyle F deux groupes, soit H \triangleleft G Soit f : G \longrightarrow F un morphisme de groupes tel que H \subset ker f.

Alors il existe un unique morphisme de groupe \bar f : \frac {G}{H} \longrightarrow F tel que f = \bar f \circ \pi avec \displaystyle \pi la surjection cannonique.

La démonstration de cette propriété est semblable à celle de la propriété universelle des modules quotients, sauf qu'on suppose dans les prémisses que \displaystyle f est constante sur les classes. Par ailleurs, on introduit la normalité de \displaystyle H dans \displaystyle G pour ne pas avoir à énoncer la propriété pour le groupe quotient à gauche et pour le groupe quotient à droite.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Propri%C3%A9t%C3%A9 universelle ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Propriété universelle du produit de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Propriete universelle — Propriété universelle En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d un problème universel posé par un foncteur. Sommaire 1 Propriété universelle des modules quotients 2 Propriété universelle de la… …   Wikipédia en Français

  • Propriété universelle de la somme directe — Propriété universelle En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d un problème universel posé par un foncteur. Sommaire 1 Propriété universelle des modules quotients 2 Propriété universelle de la… …   Wikipédia en Français

  • Propriété universelle de la somme directe externe — Propriété universelle En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d un problème universel posé par un foncteur. Sommaire 1 Propriété universelle des modules quotients 2 Propriété universelle de la… …   Wikipédia en Français

  • Propriété universelle des modules libres — Propriété universelle En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d un problème universel posé par un foncteur. Sommaire 1 Propriété universelle des modules quotients 2 Propriété universelle de la… …   Wikipédia en Français

  • Propriété universelle des modules quotients — Propriété universelle En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d un problème universel posé par un foncteur. Sommaire 1 Propriété universelle des modules quotients 2 Propriété universelle de la… …   Wikipédia en Français

  • Propriété universelle — En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d un problème universel posé par un foncteur. Sommaire 1 Propriété universelle : définition 2 Propriété universelle des modules quotients …   Wikipédia en Français

  • Produit tensoriel de deux applications lineaires — Produit tensoriel de deux applications linéaires Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ… …   Wikipédia en Français

  • Produit direct (groupes) — En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous jacents à ces groupes. Sommaire 1… …   Wikipédia en Français

  • Produit fibré — Diagramme commutatif traduisant la propriété universelle du produit fibré. En mathématiques, le produit fibré est une opération entre deux ensembles munis tous deux d une application vers un même troisième ensemble. Sa définition s étend à… …   Wikipédia en Français

  • Produit tensoriel de deux applications linéaires — Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires u d un A module E1 dans F1, et v d un A module E2 dans F2, associe une troisième application linéaire du produit tensoriel dans le produit… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”