Propriété universelle de la somme directe externe

Propriété universelle de la somme directe externe

Propriété universelle

En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur.

Sommaire

Propriété universelle des modules quotients

Soient \displaystyle M et \displaystyle X deux A-modules, soit \displaystyle N un sous-module de \displaystyle M, soit f : M \longrightarrow X une application A-linéaire.

Alors il existe une unique application g : \frac{M}{N} \longrightarrow X A-linaire telle que g \circ \pi = f ssi N \subset Ker f, i.e. ssi \displaystyle f est constante sur les classes, avec \pi : \begin{matrix} M & \longrightarrow & \frac{M}{N} \\ x & \mapsto & \bar x \end{matrix} la surjection canonique.

\displaystyle g est l'application déduite de \displaystyle f par passage au quotient ; et on a le diagramme :

\begin{matrix} M & \displaystyle\xrightarrow{f} & X \\ \pi \downarrow & \displaystyle\nearrow g \\ \displaystyle\frac{M}{N} \end{matrix}


Démonstration

Par analyse-synthèse :

  • Supposons qu'une telle application \displaystyle g existe.

Soit \bar x \in N : on a f(x) = g \circ \pi (x) = g(\bar x) = g(\bar 0) car x \in N et g(\bar 0) = 0 car \displaystyle g est A-linéaire.

On a bien N \subset Ker f, donc \displaystyle f est bien constante sur les classes.

  • Supposons N \subset Ker f :

Par analyse-synthèse :

Posons g : \begin{matrix} \frac{M}{N} & \longrightarrow & X \\ \bar x & \mapsto & f(x) \end{matrix} On a f = g \circ \pi ; montrer que \displaystyle g est bien défini :

soient (x,y) \in M^2 tels que \bar x = \bar y g(\bar x - \bar y) = g(\bar 0) = 0 et g(\bar x - \bar y) = g(\bar x)-g(\bar y) donc \displaystyle g(\bar x)-g(\bar y) = 0 donc g(\bar x) = g(\bar y) donc \displaystyle g bien définie et unique.

soit x \in M, g \circ \pi (x) = g(\bar x) = f(x) donc g \circ \pi = f, ce qui assure l'existence de \displaystyle g.

Propriété universelle de la somme directe externe

Soit A un anneau ; soit (X_i)_{i\in I} une famille de A-modules, Y un A-module ; soit (f_i : X_i\longrightarrow Y)_{i\in I} une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application \phi : \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i\longrightarrow Y A-linéaire telle que : \forall i\in I, \phi \circ q_i = f_i avec \begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} X_k\\ &\scriptstyle x_i & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} l'injection canonique.


Démonstration

Par analyse synthèse :

  • Supposons qu'un tel \displaystyle\phi existe. Soit (x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i ; on a :

\begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \bigoplus_{k\in I}^{ext} X_k\\ & \scriptstyle x_i & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} avec \displaystyle\delta_{ik} symbole de Kronecker ; on a : \displaystyle \phi \circ q_i (x_i) = \phi(0,...,0,x_i,0,...,0) = f_i(x_i) et, pour (n,m)\in I^2, \displaystyle \phi((x_n+x_m) = \phi((x_n,0)+(0,x_m)) = f_n(x_n)+f_m(x_m) par A-linéarité, donc \phi((x_i)_{i\in I}) = \phi(\sum_{k\in I} x_k\delta_{ik}) = \sum_{i\in I} f_i(x_i) ce qui assure l'unicité de φ

  • Posons donc \begin{matrix}\phi : & \bigoplus_ {i\in I}^{ext} X_i & \longrightarrow & Y\\ & \scriptstyle (x_i)_{i\in I} & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix}  ; les \displaystyle f_i étant linéaires, \displaystyle \phi est linéaire.

Soit x_i\in X_i, on a : \phi \circ q_i (x_i) = \phi (0,...,0,x_i,0,...,0) = \sum_{k\in I} f_k(x_k) = f_i(x_i) ; ainsi nous avons bien \phi \circ q_i = f_i, donc \displaystyle\phi existe bien.

Propriété universelle des modules libres

Soit M un module libre de base (e_i)_{i\in I} ; soit Y un autre module, soit (y_i)_{i\in I} une famille de vecteurs de Y.

Alors il existe une unique application linéaire f : M \longrightarrow Y telle que \forall i\in I, \displaystyle f(e_i) = y_i


Démonstrations

Par analyse synthèse :

  • Supposons qu'une telle application f existe. Soit x\in M, il existe (\lambda_i)_{i\in I} \in A^{(I)} telle que x = \sum_{i\in I} \lambda_ie_i ; donc :

f(x) = f(\sum_{i\in I} \lambda_ie_i) = \sum_{i\in I} \lambda_if(e_i) = \sum_{i\in I} \lambda_iy_i

  • Posons donc f : \begin{matrix} \displaystyle M &\longrightarrow &\displaystyle Y\\ \scriptstyle \sum_{i\in I} \lambda_ie_i &\scriptstyle \mapsto &\scriptstyle \sum_{i\in I} \lambda_iy_i \end{matrix}

f est linéaire, ce qui se démontre aisément ; soit i\in I, \displaystyle f(e_i) = 1y_i = y_i

f existe et est unique.


Propriété universelle du produit

Soit (X_i)_{i \in I} une famille de A-modules ; soit \displaystyle M un A-module ; soit (f_i : M \longrightarrow X_i)_{i\in I} une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application linéaire f : M \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i telle que p_i \circ f = f_i

avec p_i : \begin{matrix} \prod_{k \in I} X_k & \longrightarrow & X_i \\ \scriptstyle(x_k)_{k \in I} & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle x_i \end{matrix} l'i-ème projection canonique.

On a donc le diagramme suivant :

\begin{matrix} & M \longrightarrow X_i \\ & \scriptstyle f \displaystyle \searrow \displaystyle \uparrow \scriptstyle p_i \\ & \prod_{i \in I} X_i \end{matrix}


Démonstration

Par analyse-synthèse :

Posons f : M \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i

Soit x \in M : f(x) = (f_i(x))_{i \in I}, et on a bien : p_i(f(x)) = p_i((f_i(x))_{i \in I}) = f_i(x)

Soit (x,y) \in M^2 et \lambda \in A :

f(\lambda x + y) = (f_i(\lambda x + y)_{i \in I} = \lambda (f_i(x))_{i\in I} + (f_i(y))_{i \in I} car les \displaystyle f_i sont linéaires.

Donc \displaystyle f est linéaire, et elle existe.


Propriété universelle des anneaux fractionnaires

Soit \displaystyle A un anneau commutatif ; soit \displaystyle S une partie multiplicative de \displaystyle A ; soit \displaystyle X un anneau commutatif, et f : A \longrightarrow X un morphisme d'anneau tel que : \forall s \in S, f(s) inversible. On définit la relation d'équivalence \sim sur A \times S par (a,s)\times (b,t) \leftrightarrow \exists u \in S, u(at-bs) = 0.

Alors il existe un unique morphisme g : \frac {A \times S}{\sim} \longrightarrow X tel que g \circ \theta = f, avec \theta : \begin{matrix} A & \longrightarrow & \frac{A\times S}{\sim} \\ a & \mapsto & \overline {(a,1_A)} \end{matrix} On a le diagramme suivant :

\begin{matrix} A & \xrightarrow {f} & X \\ \theta \downarrow & \nearrow g \\ \frac {A \times S}{\sim} \end{matrix}


Démonstration

Par analyse-synthèse :

  • g(\overline {(a,b)} = g(\overline {(a,1)}\overline {(1,b)}) = g(\overline {(a,1)})g(\overline {(1,b)}) = f(a)g(\overline {(1,b)}).

Or \overline {(1,b)} inverse de \overline {(b,1)} : en effet {(b,b)}\sim {(1,1)} \leftrightarrow \exists u \in S, u(b1-b1) = 0.

Donc \overline {(b,b)} = \overline {(1,1)}, \overline {(b,1)}\overline {(1,b)} = \overline {(b,b)} = \overline {(1,1)} ; donc g(\overline {(a,b)} = f(a)g(\overline {(b,1)^{-1}} = f(a)(g(\overline {(b,1)})^{-1} = f(a)f(b)^{-1}

  • Posons g(\overline {(a,b)} = f(a)f(b)^{-1}

Montrons que \displaystyle g est constant sur les classes. Soient \displaystyle (a,b) et \displaystyle (c,d) tels que \displaystyle (a,b)\sim(c,d): Montrons que g(\overline {(a,b)} = g(\overline {(c,d)} : cela revient à montrer que \displaystyle f(a)f(b)^{-1} = f(c)f(d)^{-1}, i.e. \displaystyle f(ab^{-1}) = f(cd^{-1}), i.e. \displaystyle f(ab^{-1} - cd^{-1}) = 0 car \displaystyle b et \displaystyle d sont dans \displaystyle S On a : \displaystyle u(ad - cb) = 0

\displaystyle u(add^{-1} - cbd^{-1}) = 0

\displaystyle u(ab^{-1} - cbb^{-1}d^{-1}) = 0

\displaystyle u(ab^{-1} - cd^{-1}) = 0

\displaystyle f(u(ab^{-1} - cd^{-1})) = 0

\displaystyle f(u)f((ab^{-1} - cd^{-1})) = 0, or \displaystyle f(u) est inversible, donc non null. Donc \displaystyle f((ab^{-1} - cd^{-1})) = 0, donc g(\overline {(a,b)} = g(\overline {(c,d)}, \displaystyle g est bien défini.


Propriété universelle des corps fractionnaires

Cette propriété universelle est un cas particulier de la propriété universelle des anneaux fractionnaires.

Soit \displaystyle A un anneau commutatif intègre; soit \displaystyle A^{*} l'ensemble des éléments non nulls de \displaystyle A ; soit \displaystyle X un anneau commutatif, et f : A \longrightarrow X un morphisme d'anneau. On définit la relation d'équivalence \sim sur A \times A^{*} par (a,s)\times (b,t) \leftrightarrow (at-bs) = 0.

Alors il existe un unique morphisme g : \frac {A \times A^{*}}{\sim} \longrightarrow X tel que g \circ \theta = f.

\frac {A \times A^{*}}{\sim} est un corps.


Propriété universelle des algèbres

Soient \displaystyle R un corps, \displaystyle A une R-algèbre, \displaystyle I un idéal bilatère de \displaystyle A, \displaystyle B une R-algèbre. Soit f : A \longrightarrow B un morphisme d'algèbre tel que I \subset ker f.

Alors il existe un unique morphisme d'algèbre g : \frac A I \longrightarrow B tel que g \circ \pi = f avec \displaystyle \pi la surjection canonique.

\begin{matrix} A & \displaystyle\xrightarrow{f} & B \\ \pi \downarrow & \displaystyle\nearrow g \\ \displaystyle\frac{A}{I} \end{matrix}


Démonstration

\displaystyle f est un morphisme de R-module. La propriété universelle des modules quotients assure qu'il existe g : \frac A I \longrightarrow B R-linéaire tel que g \circ \pi = f. Il suffit donc de montrer que \displaystyle g est un morphisme d'algèbre :

g(\bar x \bar y) = f(xy) = f(x)f(y) = g(\bar x)g(\bar y)


Propriété universelle des groupes quotients

Cette propriété est similaire à celle des modules quotients.

Soient \displaystyle G et \displaystyle F deux groupes, soit H \triangleleft G Soit f : G \longrightarrow F un morphisme de groupes tel que H \subset ker f.

Alors il existe un unique morphisme de groupe \bar f : \frac {G}{H} \longrightarrow F tel que f = \bar f \circ \pi avec \displaystyle \pi la surjection cannonique.

La démonstration de cette propriété est semblable à celle de la propriété universelle des modules quotients, sauf qu'on suppose dans les prémisses que \displaystyle f est constante sur les classes. Par ailleurs, on introduit la normalité de \displaystyle H dans \displaystyle G pour ne pas avoir à énoncer la propriété pour le groupe quotient à gauche et pour le groupe quotient à droite.

Voir aussi

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