Propriété universelle

Propriété universelle

En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur.

Sommaire

Propriété universelle : définition

Soit F un foncteur d'une catégorie \mathcal C dans la catégorie des ensembles ; un couple (A, θ ) où A est un objet de \mathcal C et \theta \in \displaystyle F(A) est solution du problème posé par F si la propriété suivante, dite universelle, est vérifiée :

Pour tout objet X de \mathcal C, pour tout f de \displaystyle F(X) il existe un unique morphisme g : A → X tel que :

\displaystyle {F(g)(\theta) = f}

Le foncteur F est le foncteur associé à la propriété universelle.

Propriété universelle des modules quotients

Soient M et X deux A-modules, N un sous-module de M, \pi : \begin{matrix} M & \longrightarrow & M/N \\ x & \mapsto & \bar x \end{matrix} la surjection canonique, et f : M → X une application A-linéaire.

Alors il existe une unique application A-linéaire g : M/N → X telle que g \circ \pi = f ssi N \subset Ker f, i.e. ssi f est constante sur les classes.

g est l'application déduite de f par passage au quotient, et on a le diagramme :

\begin{matrix} M & \displaystyle\xrightarrow{f} & X \\ \pi \downarrow & \displaystyle\nearrow g \\ M/N\end{matrix}

Démonstration

Par analyse-synthèse :

  • Supposons qu'une telle application g existe.

Soit \bar x \in N : on a f(x) = g \circ \pi (x) = g(\bar x) = g(\bar 0) car x \in N et g(\bar 0) = 0 car g est A-linéaire.

On a bien N \subset Ker f, donc f est bien constante sur les classes.

  • Supposons N \subset Ker f :

Posons g : \begin{matrix} M/N & \to & X \\ \bar x & \mapsto & f(x) \end{matrix} On a f = g \circ \pi ; montrer que g est bien défini :

soient (x,y) \in M^2 tels que \bar x = \bar y g(\bar x - \bar y) = g(\bar 0) = 0 et g(\bar x - \bar y) = g(\bar x)-g(\bar y) donc \displaystyle g(\bar x)-g(\bar y) = 0 donc g(\bar x) = g(\bar y) donc g est bien définie et unique.

soit x \in M, g \circ \pi (x) = g(\bar x) = f(x) donc g \circ \pi = f, ce qui assure l'existence de g.

Propriété universelle de la somme directe externe

Soient A un anneau, (X_i)_{i\in I} une famille de A-modules, \begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} X_k\\ &\scriptstyle x_i & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} l'injection canonique, Y un A-module et (f_i : X_i\to Y)_{i\in I} une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application \varphi : \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i\to Y A-linéaire telle que : \forall i\in I, \varphi \circ q_i = f_i~.

Démonstration

Par analyse synthèse :

  • Supposons qu'un tel ϕ existe. Soit (x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i ; on a :

\begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \bigoplus_{k\in I}^{ext} X_k\\ & \scriptstyle x_i & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} avec \displaystyle\delta_{ik} symbole de Kronecker ; on a : \displaystyle \varphi \circ q_i (x_i) = \varphi(0,...,0,x_i,0,...,0) = f_i(x_i) et, pour (n,m)\in I^2, \displaystyle \varphi((x_n+x_m) = \varphi((x_n,0)+(0,x_m)) = f_n(x_n)+f_m(x_m) par A-linéarité, donc \varphi((x_i)_{i\in I}) = \varphi(\sum_{k\in I} x_k\delta_{ik}) = \sum_{i\in I} f_i(x_i) ce qui assure l'unicité de ϕ.

  • Posons donc \begin{matrix}\varphi : & \bigoplus_ {i\in I}^{ext} X_i & \to & Y\\ & \scriptstyle (x_i)_{i\in I} & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix}  ; les fi étant linéaires, ϕ est linéaire.

Soit x_i\in X_i, on a : \varphi \circ q_i (x_i) = \varphi (0,...,0,x_i,0,...,0) = \sum_{k\in I} f_k(x_k) = f_i(x_i) ; ainsi nous avons bien \varphi \circ q_i = f_i, donc ϕ existe bien.

Propriété universelle des modules libres

Soit M un module libre de base (e_i)_{i\in I} ; soit Y un autre module, soit (y_i)_{i\in I} une famille de vecteurs de Y.

Alors il existe une unique application linéaire f : M \longrightarrow Y telle que \forall i\in I, \displaystyle f(e_i) = y_i

Démonstrations

Par analyse synthèse :

  • Supposons qu'une telle application f existe. Soit x\in M, il existe (\lambda_i)_{i\in I} \in A^{(I)} telle que x = \sum_{i\in I} \lambda_ie_i ; donc :

f(x) = f(\sum_{i\in I} \lambda_ie_i) = \sum_{i\in I} \lambda_if(e_i) = \sum_{i\in I} \lambda_iy_i

  • Posons donc f : \begin{matrix} \displaystyle M &\longrightarrow &\displaystyle Y\\ \scriptstyle \sum_{i\in I} \lambda_ie_i &\scriptstyle \mapsto &\scriptstyle \sum_{i\in I} \lambda_iy_i \end{matrix}

f est linéaire, ce qui se démontre aisément ; soit i\in I, \displaystyle f(e_i) = 1y_i = y_i

f existe et est unique.
 


Propriété universelle du produit

Article détaillé : produit (catégorie).

Soit (X_i)_{i \in I} une famille de A-modules ; soit \displaystyle M un A-module ; soit (f_i : M \longrightarrow X_i)_{i\in I} une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application linéaire f : M \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i telle que p_i \circ f = f_i

avec p_i : \begin{matrix} \prod_{k \in I} X_k & \longrightarrow & X_i \\ \scriptstyle(x_k)_{k \in I} & \scriptstyle \mapsto & \scriptstyle x_i \end{matrix} l'i-ème projection canonique.

On a donc le diagramme suivant :

\begin{matrix} & M \longrightarrow X_i \\ & \scriptstyle f \displaystyle \searrow \displaystyle \uparrow \scriptstyle p_i \\ & \prod_{i \in I} X_i \end{matrix}

Démonstration

Par analyse-synthèse :

Posons f : M \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i

Soit x \in M : f(x) = (f_i(x))_{i \in I}, et on a bien : p_i(f(x)) = p_i((f_i(x))_{i \in I}) = f_i(x)

Soit (x,y) \in M^2 et \lambda \in A :

f(\lambda x + y) = (f_i(\lambda x + y)_{i \in I} = \lambda (f_i(x))_{i\in I} + (f_i(y))_{i \in I} car les \displaystyle f_i sont linéaires.

Donc \displaystyle f est linéaire, et elle existe.
 

Propriété universelle des anneaux de fractions

Soit \displaystyle A un anneau commutatif ; soit \displaystyle S une partie multiplicative de \displaystyle A ; soit \displaystyle X un anneau commutatif, et f : A \longrightarrow X un morphisme d'anneau tel que : \forall s \in S, f(s) inversible. On définit la relation d'équivalence ∼ sur A \times S par (a,s)\times (b,t) \leftrightarrow \exists u \in S, u(at-bs) = 0.

Alors il existe un unique morphisme g : \frac {A \times S}{\sim} \longrightarrow X tel que g \circ \theta = f, avec \theta : \begin{matrix} A & \longrightarrow & \frac{A\times S}{\sim} \\ a & \mapsto & \overline {(a,1_A)} \end{matrix} On a le diagramme suivant :

\begin{matrix} A & \xrightarrow {f} & X \\ \theta \downarrow & \nearrow g \\ \frac {A \times S}{\sim} \end{matrix}

Démonstration

Par analyse-synthèse :

  • g(\overline {(a,b)} = g(\overline {(a,1)}\overline {(1,b)}) = g(\overline {(a,1)})g(\overline {(1,b)}) = f(a)g(\overline {(1,b)}).

Or \overline {(1,b)} inverse de \overline {(b,1)} : en effet {(b,b)}\sim {(1,1)} \leftrightarrow \exists u \in S, u(b1-b1) = 0.

Donc \overline {(b,b)} = \overline {(1,1)}, \overline {(b,1)}\overline {(1,b)} = \overline {(b,b)} = \overline {(1,1)} ; donc g(\overline {(a,b)} = f(a)g(\overline {(b,1)^{-1}} = f(a)(g(\overline {(b,1)})^{-1} = f(a)f(b)^{-1}

  • Posons g(\overline {(a,b)} = f(a)f(b)^{-1}

Montrons que \displaystyle g est constant sur les classes. Soient \displaystyle (a,b) et \displaystyle (c,d) tels que \displaystyle (a,b)\sim(c,d): Montrons que g(\overline {(a,b)} = g(\overline {(c,d)} : cela revient à montrer que \displaystyle f(a)f(b)^{-1} = f(c)f(d)^{-1}, i.e. \displaystyle f(ab^{-1}) = f(cd^{-1}), i.e. \displaystyle f(ab^{-1} - cd^{-1}) = 0 car \displaystyle b et \displaystyle d sont dans \displaystyle S On a : \displaystyle u(ad - cb) = 0

\displaystyle u(add^{-1} - cbd^{-1}) = 0

\displaystyle u(ab^{-1} - cbb^{-1}d^{-1}) = 0

\displaystyle u(ab^{-1} - cd^{-1}) = 0

\displaystyle f(u(ab^{-1} - cd^{-1})) = 0

\displaystyle f(u)f((ab^{-1} - cd^{-1})) = 0, or \displaystyle f(u) est inversible, donc non null.

Donc \displaystyle f((ab^{-1} - cd^{-1})) = 0, donc g(\overline {(a,b)} = g(\overline {(c,d)}, \displaystyle g est bien défini.
 


Propriété universelle des corps des fractions

Cette propriété universelle est un cas particulier de la propriété universelle des anneaux de fractions

Soit \displaystyle A un anneau commutatif intègre; soit \displaystyle A^{*} l'ensemble des éléments non nulls de \displaystyle A ; soit \displaystyle X un anneau commutatif, et f : A \longrightarrow X un morphisme d'anneau. On définit la relation d'équivalence ∼ sur A \times A^{*} par (a,s)\times (b,t) \leftrightarrow (at-bs) = 0.

Alors il existe un unique morphisme g : \frac {A \times A^{*}}{\sim} \longrightarrow X tel que g \circ \theta = f.

\frac {A \times A^{*}}{\sim} est un corps.


Propriété universelle des algèbres

Soient \displaystyle R un corps, \displaystyle A une R-algèbre, \displaystyle I un idéal bilatère de \displaystyle A, \displaystyle B une R-algèbre. Soit f : A \longrightarrow B un morphisme d'algèbre tel que I \subset ker f.

Alors il existe un unique morphisme d'algèbre g : \frac A I \longrightarrow B tel que g \circ \pi = f avec \displaystyle \pi la surjection canonique.

\begin{matrix} A & \displaystyle\xrightarrow{f} & B \\ \pi \downarrow & \displaystyle\nearrow g \\ \displaystyle\frac{A}{I} \end{matrix}

Démonstration

\displaystyle f est un morphisme de R-module. La propriété universelle des modules quotients assure qu'il existe g : \frac A I \longrightarrow B R-linéaire tel que g \circ \pi = f. Il suffit donc de montrer que \displaystyle g est un morphisme d'algèbre :

g(\bar x \bar y) = f(xy) = f(x)f(y) = g(\bar x)g(\bar y)
 


Propriété universelle des groupes quotients

Cette propriété est similaire à celle des modules quotients.

Soient \displaystyle G et \displaystyle F deux groupes, soit H \triangleleft G Soit f : G \longrightarrow F un morphisme de groupes tel que H \subset ker f.

Alors il existe un unique morphisme de groupe \bar f : \frac {G}{H} \longrightarrow F tel que f = \bar f \circ \pi avec \displaystyle \pi la surjection canonique.

La démonstration de cette propriété est semblable à celle de la propriété universelle des modules quotients, sauf qu'on suppose dans les prémisses que \displaystyle f est constante sur les classes. Par ailleurs, on introduit la normalité de \displaystyle H dans \displaystyle G pour ne pas avoir à énoncer la propriété pour le groupe quotient à gauche et pour le groupe quotient à droite.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Propriété universelle de Wikipédia en français (auteurs)

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