Probleme universel

Probleme universel

Problème universel

En mathématiques un problème universel consiste, étant donnés des objets qui jouent un rôle similaire, en la recherche d'isomorphismes permettant de définir canoniquement une structure.

Sommaire

Objet initial et objet final.

Donnons-nous une catégorie \mathcal{C}. Un objet I de \mathcal{C} est dit initial si pour tout objet E de \mathcal{C}, il existe une et une seule flèche de I vers E. De même, un objet F est dit final si pour tout objet E, il existe une et une seule flèche de E vers F. En particulier la seule flèche d'un objet initial (ou final) vers lui-même est l'identité.

L'intérêt de cette définition est la propriété suivante :

Deux objets initiaux (respectivement finals) dans une catégorie sont isomorphes, et l'isomorphisme entre les deux est unique (on dit qu'ils sont canoniquement isomorphes).

Autrement-dit si I et J sont tous deux initiaux dans \mathcal{C}, l'unique flèche f de I vers J est un isomorphisme. En effet, comme J est initial, il existe de même une unique flèche g de J vers I, et le composé g\circ f ne peut être que la flèche identité de I, toujours parce que I est initial. Pour la même raison f\circ g ne peut être que l'identité de J.

Par suite demander qu'un objet soit initial le définit à isomorphisme canonique près (c'est-à-dire, comme diraient les informaticiens, aux détails d'implémentation près). En d'autre termes de telles définitions permettent de se concentrer sur l'essentiel (le comportement de l'objet défini) sans se préoccuper des détails de sa construction.

Bien entendu, une telle définition ne prouve pas l'existence de l'objet, qui doit éventuellement être prouvée par une construction. Elle ne fait que débarrasser la définition de l'objet de tout ce qui est contingent. En contrepartie, elle oblige à intégrer dans la définition les outils nécessaires et suffisants pour la manipulation de l'objet.

Quand un objet mathématique est défini de cette façon, on dit qu'il est défini par un problème universel.

Exemples.

Chacune des phrases suivantes constitue une définition de ce qui y figure en gras.

  • L'ensemble vide est un objet initial dans la catégorie des ensembles.
  • Tout singleton (ensemble à un seul élément) est un objet final dans la catégorie des ensembles.
  • L'anneau des entiers relatifs \mathbb{Z} est initial dans la catégorie des anneaux unitaires (commutatifs ou non).
  • Le quotient \pi\colon E\to E/F (muni de sa projection canonique) d'un espace vectoriel E par le sous-espace vectoriel F est initial dans la catégorie dont les objets sont les applications linéaires f\colon E\to G dont le noyau contient F. Les flèches de cette catégorie de l'objet f\colon E\to G vers l'objet g\colon E\to H sont les applications linéaires \varphi\colon G\to H telles que g = \varphi\circ f.
  • Le diagramme 1\to^{0}\mathbb{N}\to^{S}\mathbb{N} (où 1 est un singleton, 0 l'unique application d'image {0} et S la fonction successeur), est initial dans la catégorie des diagrammes de la forme 1\to X\to^{h} X. Les flèches de cette catégorie de l'objet 1\to X\to^{h} X vers l'objet 1\to Y\to^{k} Y, sont les applications \varphi\colon X\to Y, telle que \varphi\circ 0 = 0 et \varphi\circ h = k\circ\varphi. (Définition de William Lawvere des entiers naturels).
  • Le groupe libre sur l'ensemble E est initial dans la catégorie dont les objets sont les applications a\colon E\to G, où G un groupe. Les flèches de cette catégorie, de l'objet a\colon E\to G vers l'objet b\colon E\to H sont les morphismes de groupes h\colon G\to H tels que h\circ a = b.
  • Le produit tensoriel \otimes\colon M\times N \to M\otimes_{A}N de deux modules M (module à droite) et N (module à gauche) sur l'anneau A est initial dans la catégorie des applications bilinéaires de source M\times N. Les flèches de cette catégorie de l'objet f\colon M\times N \to A vers l'objet g\colon M\times N \to B sont les applications linéaires \varphi\colon A\to B, telles que g=\varphi\circ f.
  • Le compactifié de Stone-Cech \gamma\colon X\to \check X de l'espace topologique X est initial dans la catégorie dont les objets sont les applications continues f\colon X\to Y, où Y est un espace compact. Les flèches de cette catégorie de l'objet f\colon X\to Y vers l'objet g\colon X\to Z sont les applications continues h\colon Y\to Z telles que g=h\circ f.


On pourrait multiplier les exemples. Il est peu probable qu'il existe un concept mathématique échappant à une définition de ce type.

Autres formulations

Cette notion de problème universel peut s'exprimer d'une façon plus sophistiquée (conduisant à l'obtention automatique de certains théorèmes) à travers celle de foncteur adjoint.

Bibliographie

S. MacLane Categories for the Working Mathematician. Springer-verlag. Graduate Texts in Mathematics (1971).

N. Bourbaki Théorie des Ensembles chapitres 1 à 4 chapitre 4 : Structures (1970, réimpression en 1998)

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