Prolongement par continuité

Prolongement par continuité

Continuité uniforme

En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme.

Sommaire

Définitions et exemples

Espace métrique

Article détaillé : Espace métrique.

Le contexte général de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, et f une application de E dans F.

L'application f est dite uniformément continue si et seulement si :

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!

NB: La continuité « simple » de f s'écrit par comparaison :

\forall x \in E, \ \forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall y \in E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!

Le terme uniforme signifie que le choix de η en fonction de ε ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur E.

Fonction de la variable réelle et à valeurs réelles

Si les espaces de départ et d'arrivée de la fonction f sont des intervalles de l'ensemble des nombres réels munis de la norme valeur absolue, la définition s'écrit :

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ |x-y| < \eta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)| < \varepsilon \,\!

Exemple et contre-exemple

Soit f1 la fonction qui, à tout réel positif associe sa racine carrée. L'application f1 est uniformément continue. En effet, soit ε un réel strictement positif. La fonction f1 est concave, la majoration suivante est donc vérifiée :

\forall x,y \in \R_+ \quad |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|}

Si η est égal au carré de ε la proposition suivante montre l'uniforme continuité recherchée :

\forall x,y \in \R_+ \quad |x-y|\leq\eta \Rightarrow |f_1(x)-f_1(y)| = |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \leq \sqrt{\eta} = \varepsilon \,\!

Soit f2 la fonction qui, à tout réel associe son carré. L'application f2 n'est pas uniformément continue. En effet, montrons que :

\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \ , |x-y| \leq \eta \ et \ |f_2(x)-f_2(y)|>\varepsilon \,\!

Il suffit de choisir ε égal à un. Pour tout η strictement positif, soit x (resp. y) le réel égal à 1/η + η (resp. 1/η) Alors :

|x-y| \leq \eta \quad \text{et} |f_2(x)-f_2(y)|=\left|\left(\frac{1}{\eta^2}+2\eta \frac{1}{\eta}+\eta^2\right)-\frac{1}{\eta^2}\right|=|2+\eta^2|>\varepsilon \,\!

Ce qui termine la démonstration.

Remarque : La fonction racine carrée est une fonction 1/2-höldérienne. Plus généralement, pour tout 0<a\leq 1, une application a-höldérienne entre espaces métriques est uniformément continue.

Propriétés

Fonctions lipschitziennes

Soit I un intervalle quelconque sur les nombres réels. Toute fonction k-lipschitzienne f de I dans l'ensemble des réels est uniformément continue.

En particulier, si f est dérivable et de dérivée bornée sur I, alors f est uniformément continue. En effet, si k est nul la fonction est constante et toute valeur de η satisfait la condition, sinon, ε/k est une valeur satisfaisante pour η.

Théorème de Heine

Article détaillé : théorème de Heine.

Le théorème de Heine indique que toute fonction continue d'un espace métrique dans un espace métrique est uniformément continue si l'ensemble de départ est compact.

En particulier, toute fonction continue d'un segment de l'ensemble des réels dans un espace métrique est uniformément continue.

Prolongement par continuité

Toute fonction uniformément continue à valeurs dans un espace complet se prolonge par continuité sur l' adhérence de son espace de départ.

Ce résultat découle du fait que l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy.

Cette propriété est utilisée parfois pour définir des fonctions comme l'intégrale ou l'exponentielle ou encore compléter des applications linéaires ou bilinéaires définies sur des espaces vectoriels normés.


Démonstration

Soit f une application uniformément continue de F un sous-ensemble de (E, d) dans (G, δ) et (xn) une suite de Cauchy de F.

  • La suite (f(xn)) est de Cauchy :

La fonction f est uniformément continue, on en déduit :

\forall x,y \in F, \; \forall \varepsilon > 0, \; \exists \eta >0 \quad d(x,y)<\eta \Rightarrow \delta ( f(x),f(y))< \varepsilon

La suite (xn) est de Cauchy, on en déduit :

\forall \eta > 0,\; \exists M \ge 0,\; \forall n,m \in \mathbb N \quad n>M \;\text{et}\; m>M \Rightarrow d(x_n,x_m)<\eta

Les deux dernières propriétés montrent que :

\forall \varepsilon > 0, \; \exists M \ge 0, \; \forall n,m \in \mathbb N \quad n>M \;\text{et}\; m>M \Rightarrow \delta ( f(x_m),f(x_m))< \varepsilon

La dernière proposition exprime le fait que la suite (f(xn)) est de Cauchy.

Soit A l'adhérence de F et G est maintenant supposé complet.

  • La fonction f se prolonge en une application uniformément continue sur A :

Soit a un élément de A et (xn) une suite d'éléments de F convergeant vers a. La suite est de Cauchy car elle converge. La proposition précédente montre que la suite (f(xn)) est de Cauchy, G est complet ce qui montre la convergence de la suite. Soit (yn) une autre suite convergeant vers a, la suite (f(yn)) est aussi convergeante. Montrons que les deux limites sont les mêmes. Soit la suite (zn) définie par z2n est égal à xn et z2n+1 est égal à yn. Pour les mêmes raisons que précédemment, la suite (f(zn)) converge, la limite est celle de toute suite extraite, donc celle de (f(xn)) et (f(yn)), ce qui montre bien que les deux limites sont égales.

Soit g l'application de A dans G qui à a associe la limite de la suite (f(xn)) où (xn) une suite d'éléments de F convergeant vers a. la continuité de f montre que f et g sont confondus sur E et g est bien un prolongement de f.

Montrons que g est uniformément continue. Soit ε un réel strictement positif, l'uniforme continuité de f et donc de g sur E montre l'existence d'un réel strictement positif η tel que :

\forall x,y\in E,\quad d(x,y) < 2\eta \ \Rightarrow \ \delta(g(x),g(y)) < \frac {\varepsilon}3 \,\!

Soit a et b deux éléments de A à une distance strictement inférieure à η l'un de l'autre et soit (an) (resp. (bn)) une suite convergeant vers a (resp. b). Les convergences montrent que :

\exists N \in \mathbb N,\; \forall n \in \mathbb N \quad n > N \Rightarrow d(a,a_n)<\frac {\eta}2 \;\text{et}\; d(b,b_n)<\frac {\eta}2 \;\text{et}\; \delta ( g(a),g(a_n)) < \frac {\varepsilon}3 \;\text{et}\; \delta ( g(b),g(b_n)) < \frac {\varepsilon}3

Les points an et bn sont à une distance l'un de l'autre inférieure à 2η, donc :

\delta (g(a),g(b)) \le \delta (g(a),g(a_n)) + \delta (g(a_n),g(b_n)) + \delta (g(b_n),g(b)) < \frac {\varepsilon}3 +\frac {\varepsilon}3+\frac {\varepsilon}3=\varepsilon

Ce qui démontre l'uniforme continuité de g.

Applications

Approximation uniforme des fonctions continues par les fonctions en escalier

Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] et soit ε un réel strictement positif. Alors il existe une fonction en escalier φ sur [a, b], telle que :

\forall x \in [a,b], |f(x) - \varphi(x)| < \varepsilon

On utilise pour cela le fait que f est uniformément continue (théorème de Heine), et on découpe l'intervalle [a, b] en n sous-intervalles de longueur b - a/ n inférieure au η intervenant dans la définition de l'uniforme continuité. On montre alors que la fonction φ valant f(a + k( b - a)/ n) sur l'intervalle [a + k(b - a)/ n, a + (k + 1)(b - a)/ n] convient.

Intégrale de Riemann

Article détaillé : Intégrale de Riemann.

Soit E l'espace vectoriel des fonctions bornées sur l'intervalle [a, b], muni de la norme de la convergence uniforme. Soit F le sous-espace des fonctions en escalier sur [a, b]. Il est aisé de définir l'intégrale I(φ) d'une telle fonction en escalier φ, au moyen d'une somme finie :

I(\varphi) =\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_i) \varphi_i

Si φ est constante égale à φi sur l'intervalle ]ai, ai+1[, les ai constituant une subdivision de [a, b]. On montre alors que I est une fonction lipschitzienne sur F, donc uniformément continue, elle se prolonge à l'adhérence de F dans E. Cette adhérence constitue l'espace des fonctions réglées, et contient les fonctions continues. On a défini ainsi l'intégrale de Riemann des fonctions réglées.

Approximation des fonctions continues par les polynômes

Article détaillé : Théorème de Stone-Weierstrass.

Soit f une fonction bornée sur [0, 1]. Considérons la suite de polynômes :

P_n(x) = \sum_{k=0}^n f\left({k \over n}\right) {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}

Si f est continue en x, on montre que la suite (Pn(x)) converge vers f(x). Si f est continue sur [0, 1] et donc uniformément continue, on montre que la suite (Pn) converge uniformément vers f sur [0, 1]. Ce résultat constitue une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Espace vectoriel normé

Article détaillé : Espace vectoriel normé.

Soit E un espace vectoriel normé, il n'est pas nécessairement complet. Or la complétude se révèle une propriété importante pour l'étude d'espaces fonctionnels. Elle permet par exemple d'utiliser le théorème de Hahn-Banach ou de Banach-Steinhaus.

Il existe une technique permettant de compléter un espace métrique (cf Espace complet). Appliqué à E, il devient nécessaire de prolonger l'addition et la multiplication externe pour disposer d'un espace métrique complet, encore appelé espace de Banach. Des propriétés d'uniforme continuité sont utilisées dans ce contexte. Ces techniques restent valables pour un espace munis d'un produit scalaire.

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