Polynôme de Legendre

Polynômes de Legendre

Les polynômes de Legendre sont des solutions de l'équation différentielle de Legendre, et constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux.

Équation de Legendre

On appelle équation de Legendre l'équation : $\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}]+n(n+1)y=0$

On définit ainsi le polynôme de Legendre $P n$ (pour tout entier naturel n) :

$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P_n(x)}{\textrm{d}x}]+n(n+1)P_n(x)=0,\qquad P_n(1)=1.$

On a donc $P_n=P_n^{(0,0)}$ , où $P_n^{(\alpha,\beta)}$ désigne le polynôme de Jacobi d'indice n associé aux paramètres α et β.

Autres définitions

Formule de récurrence de Bonnet

$P_0(x)=1,\ P_1(x)=x,$ et pour tout entier n>0

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x).\,$

Formule de Rodrigues

On définit le polynôme $P n$ (pour tout entier naturel n) par :

$P_n(x)=\frac{1}{n! 2^n}\frac{\textrm{d}^n}{\textrm{d}x^n}\left((x^2-1)^n\right)$

Définition analytique

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa fonction génératrice :

$\frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n.$

Le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

$P_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint(1-2xz+z^2)^{-1/2}z^{-n-1}\textrm{d}z$

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Définitions sous forme de somme

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k}$

(on en déduit $P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n} \,$ )

$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^{k}$

Quelques polynômes

Les premiers polynômes sont :

Les 20 premiers polynômes de Legendre.

$P_{0}(x)=1 \,$
$P_{1}(x)=x\,$
$P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,$
$P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,$
$P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
$P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
$P_{6}(x)=\frac{1}{16}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
$P_{7}(x)=\frac{1}{16}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
$P_{8}(x)=\frac{1}{128}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,$
$P_{9}(x)=\frac{1}{128}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
$P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$

Propriétés

Degré

Le polynôme $P n$ est de degré n.

Base

La famille $(P_n)_{n\leq N}$ étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel $\R_N[X]$ .

Parité

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n. On peut exprimer cette propriété par :

$P_n(-x)=(-1)^nP_n(x).\,$

(en particulier, $P n ( - 1) = ( - 1) n$ et $P 2 n + 1 (0) = 0$ ).

Orthogonalité

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1 : ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire $\langle \cdot,\cdot \rangle$ défini sur $\R[X]$ par la relation :

$\langle P,Q\rangle= \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, \mathrm{d}x$

$\langle P_m,P_n\rangle= \int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,\mathrm{d}x = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n$

Démonstration

La définition même de $P n$ montre qu'il s'agit d'un vecteur propre pour la valeur propre -n(n+1) de l'endomorphisme:

$P \in \R[X] \to u(P)= \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x}]$

Or cet endomorphisme est symétrique pour le produit scalaire précédent, puisqu'une intégration par parties montre que

$\langle u(P),Q\rangle= \int_{-1}^{+1} u(P)(x) Q(x)\, \mathrm{d}x = - \int_{-1}^{+1} (1-x^2) P'(x) Q'(x)\, \mathrm{d}x = \langle P,u(Q)\rangle$ .

Comme il s'agit de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, la famille des polynômes de Legendre est orthogonale.

De plus, comme $(P_n)_{n\leq N}$ est une base de $\R_N[X]$ , on a $P_{N+1} \in (\R_N[X])^\bot$ , c'est-à-dire :

$\forall Q \in \R_N[X], \int_{-1}^{1} P_{N+1}(x)Q(x)\,\mathrm{d}x = 0$

Norme

Le carré de la norme, dans L²([-1,1]), est

$\|P_n\|^2=\frac{2}{2n+1}.$

En effet, pour tout n>1, on peut établir la relation

$P'_{n+1}-P'_{n-1}=(2n+1)P_n, \,$

dont on déduit (en utilisant que pour tout k, $P' k - 1$ est de degré k-2<k donc est orthogonal à $P k$ , et en effectuant une intégration par parties) :

$\langle P_n,(2n+1)P_n\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}-P'_{n-1}\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}\rangle =[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}-\langle P'_n,P_{n+1}\rangle=[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}.$

Comme $P n P n + 1$ est impair et pour tout k, $P k (1) = 1$ , on aboutit ainsi à $(2n+1)\|P_n\|^2=2.$

Décomposition en série de polynômes de Legendre

Décomposition d'une fonction holomorphe

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformement à l'intérieur de l'ellipse:

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(x)$

avec $\forall n \in \mathbb{N}, \lambda_n \in \mathbb{C}.$

Décomposition d'une fonction lipschitzienne

On note $\tilde{P_n}$ le quotient du polynôme $P n$ par sa norme.

Soit $f$ une application continue sur [-1,1]. Pour tout entier naturel n on pose

$c_n(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,dx,$

Alors la suite $c_n(f)\,$ est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de $f$ sur $\R_n[X]$ :

$S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k.$

On a de plus :

$\forall x\in[-1,1],\;S_nf(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,dy$ , avec $K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{\tilde P_{n+1}(x)\tilde P_n(y)-\tilde P_{n+1}(y)\tilde P_n(x)}{x-y} ;$
$S_nf(x)-f(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,dy.$

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :^{[réf. souhaitée]}

$\forall x\in]-1,1[,\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).$

autrement dit, l'égalité

$f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n$

est vraie non seulement au sens L² mais au sens de la convergence simple sur ]-1,1[.

Intégration numérique d'une fonction

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle [-1, 1], l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

$\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$

avec :

$(x_i)_{i \leq n}$ l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre $P n$
$(\omega_i)_{i \leq n}$ les poids respectifs : $w_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)}$

En particulier, la formule^[1] à l'ordre n est exacte pour toute fonction polynomiale de degré 2n-1.

Note et références

Note

↑ On trouvera une table pour les cinq premières formules dans (en) Eric W. Weisstein, « Legendre-Gauss quadrature », MathWorld

Références

J. Kampe de Feriet, Fonctions de la physique mathématique, CNRS, 1957
[PDF] Sujet de l'Ecole Polytechnique 2005 PC
[PDF] Sujet de CAPES 1989

Voir aussi

Bibliographie

(en) I.S. Gradshteyn et I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press (6^e édition - 2000) (ISBN 0-12-294757-6). Errata sur le site web des éditeurs : www.mathtable.com
De Nockere, Tables numériques des polynômes de Legendre , ARB (8e edition - 1949 ), Académie Royale des Sciences des Lettres des Beaux Arts de Belgique

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