- Pendule double
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Sommaire
Présentation
Exercice classique de mécanique, il s'agit d'un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. On a donc deux tiges de longueur
et
, de masse nulle et deux masses
et
.
Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne
L'énergie cinétique vaut :
oùest l'angle par rapport à la verticale et
la vitesse du pendule
.
L'énergie potentielle vaut :
(
étant l'altitude de la masse
), ou
.
Le lagrangien vaut donc :
, soit
En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :
(1)
(2)Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.
Mise en équation utilisant l'approche newtonnienne
L'affixe de l'extrémité du premier pendule est
et celle de l'extrémité du deuxième :
où
.
L'accélération de cette dernière vaut donc.
La relation fondamentale de la dynamique en
permet de dire que
est colinéaire à
, et que donc
est réel. L'écriture de la nullité de sa partie imaginaire donne l'équation (2) ci-dessus.
La relation fondamentale de la dynamique en
s'écrit
où
est l'affixe de la tension de la première tige agissant sur
et
celle de la deuxième tige agissant sur
.
étant colinéaire à
, l'écriture de la nullité de la partie imaginaire de
donne l'équation (1).
Pendule à entraînement circulaire uniforme
Une autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors
et l'équation différentielle du mouvement, issue de (2), s'écrit, en posant
:
.
Pour de petites oscillations et
, l'équation se linéarise en
et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :
Mais si dans ce cas on choisit
, on obtient un phénomène de résonance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :
On constate que le pendule fait le tour siVoir aussi
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