Equations de Lagrange

Equations de Lagrange: Équations de Lagrange

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Les équations de Lagrange, découvertes en 1788 par le mathématicien Joseph Louis Lagrange, sont une reformulation de la mécanique classique. En mécanique lagrangienne, la trajectoire d'un objet est obtenue en cherchant à minimiser une certaine quantité, appelée action (physique). Le principe de moindre action indique qu'un objet suit la trajectoire qui minimise l'action à chaque instant et les équations de Lagrange reformulent dans ce contexte les lois de la mécanique classique découvertes par Isaac Newton.

En mécanique, les équations de Lagrange permettent d'obtenir très facilement les équations du mouvement d'un système complexe sans avoir à utiliser la notion de force.

Pour un système à $N$ degrés de liberté décrit par $N$ coordonnées généralisées $q i$ , on exprime le lagrangien $L$ à partir des coordonnées généralisées $q i$ et de leurs dérivées par rapport au temps $\dot{q}_{i}$ comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Comme le temps peut figurer explicitement dans le lagrangien, il dépend au final de $2 N + 1$ variables.

Lorsqu'aucun effort extérieur n'est appliqué sur le système, les équations de Lagrange ont la forme suivante :
$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$
Ces équations peuvent se déduire directement des lois de la mécanique classique. Il y a une équation pour chaque coordonnée généralisée $\dot{q}_{i}$ . L'un des intérêts de ces équations est de pouvoir choisir le système de variables le plus adapté pour décrire le système.

En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.

Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

Établissement des équations

Étant donné un système de coordonnées quelconque $x i$ , une variable $τ$ permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction $L$ qui ne dépend que des variables $x i$ et leur dérivée totale par rapport à $τ$ , $\dot{x}_i$ . On veut trouver les trajectoires $x i (τ)$ d'extrémités données $τ 1$ et $τ 2$ , qui minimisent l'intégrale
$\int_{\tau_1}^{\tau_2} L\left(x_i, \dot{x}_i\right) \mathrm d\tau$
Considérons une trajectoire infiniment voisine $x'(τ) = x (τ) + εξ(τ)$ avec $ε$ un infiniment petit et $ξ(τ 1) = ξ(τ 2) = 0$ . Supposant que les solutions sont trouvées et $ξ(τ 1)$ donné, la fonction
$S\left(\epsilon\right) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left(L\left(x_i, \dot{x}_i\right) + \epsilon \xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} + \epsilon \dot{\xi}\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} + o\left(\epsilon\right) \right)\mathrm d\tau$
est minimale pour $ε = 0$ :
$0 = \left[ \frac{\mathrm dS}{\mathrm d\epsilon} \right] \left(0\right) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left( \xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} + \dot{\xi}\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right)\mathrm d\tau$
Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que $ξ$ a été supposée nulle aux bornes, on a
$0 = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left(\xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} - \xi\left(\tau\right) \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right)\mathrm d\tau$ .
Comme la fonction $ξ$ est quelconque, on doit avoir
$\frac{\partial L}{\partial x_i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} = 0$
Efforts extérieurs

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Lorsqu'une force conservative $F c$ dérivant d'un potentiel $V$ est appliquée au système, l'équation ci-dessus reste valable, on doit juste modifier le lagrangien $L$ :
$L = T - (E_p+V)~$
où $T$ est l'énergie cinétique, $E p$ l'énergie potentielle (de gravité ou/et élastique) et $V$ l'énergie potentielle associée au champ de force $V = x T F c$ , tel que $F_c=-\tfrac{\partial V}{\partial q_{i}}$

Lorsqu'une force non conservative $F$ est appliquée sur le système au point $P = (x, y, z)$ , les équations de Lagrange deviennent alors :
$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = F_{q_i}$ où $F_{q_i}=\frac{\partial x}{\partial q_{i}}\cdot F_{x}+\frac{\partial y}{\partial q_{i}}\cdot F_{y}+\frac{\partial z}{\partial q_{i}}\cdot F_{z}$
Exemples

Pendule double ;

Pendule sphérique ;

Équation géodésique.

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Catégories : Équation différentielle | Joseph-Louis Lagrange

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