Arctangente

Fonction arctangente

Représentation graphique

La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $]-½ π; ½π[$ . Notée naguère $arctg$ , elle se note désormais $\textbf{arctan}$ . La notation $tan - 1$ , souvent utilisée sur les calculatrices de poche, est à proscrire, car elle prête à confusion avec le rapport $1 / tan$ .

Concrètement, si $x$ appartient à $]-½π ; ½π[$ et $y$ appartient à $\R$ :

$y = \tan x \Leftrightarrow x = \arctan y$

La courbe représentative de la fonction arctangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $]-½π ; ½π[$ par une réflexion d'axe la droite d'équation $y = x$ .

Sommaire

1 Développement en série de Taylor
2 Équation fonctionnelle
3 Fonction réciproque
4 Dérivée
5 Logarithme complexe
6 Intégration
- 6.1 Primitive
- 6.2 Utilisation de la fonction arctangente
7 Formule remarquable

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor de la fonction arctangente est :

$\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots$

Cette série entière converge quand $|x|\le 1$ et $x\neq\pm i$ . La fonction arctangente est cependant définie sur tout $\R$ .

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas $x = 1$ , appelée formule de Leibniz

$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots$

La formule de Machin, plus sophistiquée,

$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de $π$ et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

Équation fonctionnelle

De $arctan(1 ⁄ x)$ on peut déduire $arctan(x)$ et inversement :

$\forall x\in{\R_+^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= \frac{\pi}{2}$

$\forall x\in{\R_-^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= -\frac{\pi}{2}$

Ces équations fonctionnelles peuvent se prouver par exemple en montrant que la dérivée est nulle. On a :

$\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$\left(\arctan\frac{1}{x}\right )' = \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{1}{1+{\frac{1}{x^2}}} = \frac{-1}{1+x^2}$

donc

$\left(\arctan \frac{1}{x} + \arctan x\right)' = 0$

On en déduit que $arctan(1 ⁄ x) + arctan(x)$ est constante par morceau sur chaque intervalle de son ensemble de définition, et on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant la valeur prise en $x = 1$ et $x = - 1$ .

Fonction réciproque

Par définition, la réciproque $\left] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,\ y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y$

Dérivée

$\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

que l'on démontre très facilement en dérivant les 2 membres de la relation : $tan(a r c t a n (x)) = x$

Démonstration détaillée

On utilise la formule de la dérivation d'une composée de fonction :

$\forall x \in \mathbb R \quad \frac d{dx} \tan\circ \arctan (x) = \left(\frac d{dx} \tan\right)\circ \arctan (x)\cdot \frac d{dx} \arctan (x)$

En utilisant la formule de la dérivée d'une tangente, on obtient :

$\frac d{dx} \tan\circ \arctan (x) = \Big( 1 + (\tan \circ \arctan)^2 (x)\Big)\cdot \frac d{dx} \arctan (x)= (1+x^2)\cdot \frac d{dx}\arctan (x)$

Comme les fonctions tangente et arctangente sont réciproques, leur composition est égale à la fonction identité de dérivée constante 1. On en déduit l'expression recherchée :

$(1+x^2)\cdot \frac d{dx}\arctan (x) = 1\quad \text{et}\quad \forall x \in \mathbb R \quad \frac d{dx}\arctan(x) = \frac 1{1+x^2}$

Logarithme complexe

On peut exprimer la fonction arctangente par un logarithme complexe :

$\arctan(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right)$

Démonstration détaillée

On réécrit la dérivée de la fonction arctangente :

$\begin{align}\arctan'(x) & = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(\mathrm ix)^2} = \frac{1}{(1-\mathrm ix)(1+\mathrm ix)} = \frac{1}{2} \frac{(1-\mathrm ix)+(1+\mathrm ix)}{(1-\mathrm ix)(1+\mathrm ix)} \\ \ & = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+\mathrm ix} + \frac{1}{1-\mathrm ix}\right) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\frac{\mathrm i}{1+\mathrm ix} - \frac{-\mathrm i}{1-\mathrm ix}\right) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\ln'(1+\mathrm ix) - \ln'(1-\mathrm ix)\right) \end{align}$

On intègre de chaque côté :

$\arctan(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\ln(1+\mathrm ix) - \ln(1-\mathrm ix)\right) + C = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right) + C$

Enfin, on calcule la constante d’intégration $C$ en $x = 0$ :

$C \underset{x=0}{=} \arctan(x) - \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right) = \arctan(0) - \frac{1}{2\mathrm i} \ln(1) = 0$

On trouve donc finalement :

$\arctan(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right)$

Intégration

Primitive

La primitive de la fonction arctangente est

$\int \arctan(x)\;\mathrm dx = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln\left(1 + x^2\right)$

Utilisation de la fonction arctangente

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

$\frac1{ax^2+bx+c}$

Si le discriminant $D = b 2 - 4 a c$ est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par

$u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}$

qui donne pour l'expression à intégrer

$\frac{4a}{|D|}\cdot\frac1{1+u^2}$

L'intégrale est alors

$\frac{2}{\sqrt{|D|}} \arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}\right)$

Formule remarquable

Nous avons la formule suivante :

$\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right) + \arctan\left(\frac{x}{x+2}\right) = \frac{\pi}{4}.$

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Fonction arctangente ».

Catégories : Trigonométrie | Analyse réelle

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Arctangente de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

Fonction Arctangente — Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais … Wikipédia en Français
Fonction arctangente — Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais … Wikipédia en Français
Arctan — Fonction arctangente Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais … Wikipédia en Français
Arctg — Fonction arctangente Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais … Wikipédia en Français
Arc tangente — Représentation graphique En mathématiques, l’arc tangente d un nombre réel est la mesure d un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre. La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de… … Wikipédia en Français
Approximant De Padé — Le concept de l article doit son nom à Henri Padé (1863 1953) un mathématicien français. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l approximant de Padé est une méthode d approximation d une fonction analytique par … Wikipédia en Français
Approximant de Pade — Approximant de Padé Le concept de l article doit son nom à Henri Padé (1863 1953) un mathématicien français. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l approximant de Padé est une méthode d approximation d une fonction… … Wikipédia en Français
Approximant de Padé — Le concept de l article doit son nom à Henri Padé (1863 1953) un mathématicien français. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l approximant de Padé est une méthode d approximation d une fonction analytique par une fonction… … Wikipédia en Français
Approximant de padé — Le concept de l article doit son nom à Henri Padé (1863 1953) un mathématicien français. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l approximant de Padé est une méthode d approximation d une fonction analytique par … Wikipédia en Français
Calculatrice Google — La calculatrice Google permet de réaliser des calculs en tapant des expressions mathématiques directement dans le champ de recherche. Notez que les expressions ci dessous fonctionnent dans la version française de Google et peuvent différer de… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'