Opérateur de Laplace-Beltrami

L'opérateur de Laplace-Beltrami est une généralisation de l'opérateur laplacien aux variétés riemanniennes. On part de la définition classique $\Delta=\mathrm{div}\ \mathrm{grad}$ , et l'on est ramené à définir la divergence et le gradient dans le cadre riemannien.

Avertissement : Dans cet article, on utilise la convention de sommation d'Einstein. Même quand le signe somme n'est pas omis, on s'impose la discipline de ne sommer que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.

Sommaire

1 Divergence associée à une forme volume
2 Gradient associé à une métrique riemannienne
3 Définition et propriétés de base du laplacien
4 Articles liés
5 Bibliographie

Divergence associée à une forme volume

Sur une variété différentielle $M$ orientable, la divergence est naturellement associée à une forme volume. Si $ω$ est une telle forme, toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique $f ω$ , où $f$ est une fonction. Cela s'applique à la dérivée de Lie de $ω$ par rapport à un champ de vecteurs $X$ . La divergence de $X$ (par rapport à $ω$ ) est l'unique fonction telle que $\mathcal L_X\omega = (\mathrm{div}_{\omega}X)\omega$ .

D'après la formule $\mathcal L_X=d\circ i_X+i_X\circ d$ , on a $\mathcal L_X\omega =\mathrm d(i_X\omega)$ . Donc, d'après la formule de Stokes, si $X$ est à support compact,

$\int_M(\mathrm{div}_{\omega}X)\omega=\!\int_M\mathrm d(i_X\omega)=0$

Si $ω$ s'écrit en coordonnées locales $\theta\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm dx^n$ , on a

$L_X\omega = (L_X\theta)\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm dx^n+\sum_{i=1}^n\mathrm dx^1\wedge\cdots L(\mathrm dx^i)\wedge\cdots \mathrm dx^n$

(car $\mathcal L_X$ est une dérivation).

Si $\textstyle X=\sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x^i}$ , on a $\mathcal L_X\mathrm dx^i=\mathrm d(\mathcal L_Xx^i)= d\mathrm X^i$ , d'où l'on tire $\textstyle\mathcal L_X\omega = (\mathcal L_X\theta)\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm dx^n + \theta\sum_{i=1}^n\frac{\partial X^i}{\partial x^i}$ , et finalement, $\textstyle\mathrm{div}_{\omega}X= \frac{\mathrm d\theta(X)}{\theta}+\sum_{i=1}^n\frac{\partial X^i}{\partial x^i}$ .

Remarque sur l'orientabilité : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume $ω$ en son oppposée, $div ω X)$ ne change pas. En fait, la divergence ne dépend que de la densité associée à $ω$ . Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en fait utilisé une orientation locale.

L'exemple le plus important est celui de la divergence définie par la forme volume canonique d'une métrique riemannienne.

$\mathrm ds^2 \ = \ g_{ij}(x) \ \mathrm dx^i\mathrm dx^j$

En coordonnées locales $v_g= \sqrt{\det(g_{ij})}\mathrm dx^1\wedge\cdots\mathrm dx^n$ . D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable. Le déterminant des $g i j$ est souvent noté $g$ , notamment par ceux qui écrivent $d s 2$ la métrique riemannienne, cela ne porte pas trop à confusion.

Gradient associé à une métrique riemannienne

Le gradient d'une fonction (disons lisse) $f$ est l'unique champ de vecteurs, noté $\nabla f$ , tel que $g(X,\nabla f)=\mathrm df(X)$ pour tout champ de vecteurs $X$ . En coordonnées locales,

$\nabla f= \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\right) \frac{\partial}{\partial x^i}$

Ici, $g i j (x)$ est l'inverse du tenseur métrique, défini en coordonnées par

$g_{ik}(x) g^{kj}(x) \ = \ \delta_{i}^j$

où $\delta_{i}^j$ est le symbole de Kronecker.

Définition et propriétés de base du laplacien

On définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme l'opérateur différentiel du second ordre $\Delta f= \mathrm{div}(\nabla f)$ .

En coordonnées locales,

$\Delta \ = \ \frac{1}{\sqrt{g}} \ \partial_{i} \left[ \sqrt{g} g^{ij} \partial_{j} \right]$

Si $f 1$ et $f 2$ sont $C 2$ et à support compact on a

$\int_Mf_1\Delta f_2v_g= -\int_Mg(\nabla f_1,\nabla f_2)v_g=\int_Mf_2\Delta f_1v_g$

Pour le voir, on remarque que si $f$ est une fonction et $X$ un champ de vecteurs,

$\mathrm{div}fX=f\mathrm{div}X+\mathrm df(X)=f\mathrm{div}X+g(X,\nabla f)$

En appliquant cette relation à $f = f 1$ et $X=\nabla f_2$ , on obtient

$\int_M\bigl(f_1\mathrm{div}\nabla f_2+g(\nabla f_1,\nabla f_2)\bigr)v_g =\int_M\mathrm{div}(f_1\nabla f_2)v_g=0$

puisque d'après la formule de Stokes l'intégrale de la divergence d'un champ de vecteurs à support compact est nulle.

Cette formule exprime le fait que $Δ$ est un opérateur formellement autoadjoint sur $C^\infty(M)$ , par rapport au produit scalaire global, défini par

$\langle f_1,f_2\rangle :=\int_Mf_1f_2v_g$

(noter l'analogie avec les opérateurs symétriques en dimension finie.

$\textstyle\langle f,\Delta f\rangle =-\int_Mg(\nabla f,\nabla f)v_g$ est négatif ou nul. L'opérateur $- Δ$ est positif (c'est la raison pour laquelle beaucoup de géomètres riemanniens définissent l'opérateur de Laplace comme $-\mathrm{div~grad}$ ). Enfin, si $M$ est une variété compacte sans bord, les seules fonctions à Laplacien nul sont les constantes (de même que les seules fonctions harmoniques sur un domaine compact de $\R^n$ , nulles au bord sont les constantes, la preuve est d'ailleurs la même).

Bibliographie

Peter Sarnak ; Spectra of hyperbolic surfaces, Bulletin of the American Mathematical Society 40 (2003), 441-478. Texte disponible en ligne.
Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian geometry, Academic Press.

Catégories :

Géométrie différentielle
Méthode mathématique de la physique
Géométrie riemannienne

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