Normale à une surface

Normale à une surface
Un plan et deux vecteurs normaux.

En géométrie, la droite normale à une surface en un point est la droite orthogonale au plan tangent en ce point. Les vecteurs directeurs de cette droite sont appelés vecteurs normaux à la surface.

Une convention fréquente pour les surfaces fermées est de particulariser un vecteur normal unitaire, vecteur de norme 1 et orienté vers l'extérieur.

Plus généralement, il est possible de considérer les vecteurs normaux à une hypersurface dans un espace euclidien, voire dans une variété riemannienne.

Sommaire

Exemple : le plan en dimension 3

Dans un espace euclidien de dimension trois, on peut l'obtenir simplement par le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan. Soit un plan défini par le point A(a_1;a_2;a_3)\, et les vecteurs \vec u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{bmatrix} et \vec v = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix}. Son système d'équations paramétriques est :

\begin{cases} x = a_1 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y = a_2 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\ z = a_3 + \lambda u_3 + \mu v_3\end{cases}

Soit \vec w = \vec u \times \vec v le vecteur résultat du produit vectoriel. Le vecteur normal au plan est :

\vec n = \frac{\vec w}{\|\vec w\|} ou \vec n = -\frac{\vec w}{\|\vec w\|}

Si le plan est défini par son équation cartésienne :

Ax + By + Cz + D = 0

Son vecteur normal est :

\vec n = \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}

et son vecteur normal unitaire est :

\vec n = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \cdot \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}

Vecteur normal en un point régulier

Soit une surface définie par un paramétrage

M(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)

avec des fonctions x,y,z de classe C1. Le point de paramètre (u,v) est dit régulier lorsque les vecteurs dérivés partiels en ce point sont indépendants. On peut alors former leur produit vectoriel

N(u,v)=\frac{\partial M}{\partial u}(u,v) \wedge \frac{\partial M}{\partial v}(u,v)

qui constitue un vecteur normal à la surface (non nécessairement unitaire).

Lien avec le gradient

Si la surface est donnée par une équation cartésienne f(x,y,z)=0, avec une fonction f de classe C1, un point de la surface est dit régulier si le gradient de f est non nul en ce point. C'est alors le vecteur gradient lui-même qui constitue un vecteur normal.

La démonstration formelle de ce résultat fait intervenir le théorème des fonctions implicites. Il est toutefois possible d'en donner une approche simplifiée à l'aide de la notion de "variations infinitésimales".

En effet, si on se place en un point M(x,y,z) de la surface, sur son voisinage, la fonction f garde toujours la même valeur : 0. Par conséquent, sa variation infinitésimale lors d'un déplacement sur la surface défini par le vecteur \vec{dl} = (dx, dy, dz) est nulle : df = 0.

Or, par définition du gradient, on a df = \vec{grad(f)}.\vec{dl}. Puisque ce produit scalaire est nul, le gradient en M est bien perpendiculaire à la surface en ce point.

Champ de normales

Un champ de normales (normales en plusieurs points) à une forme permet de retrouver sa surface tridimensionnelle, en passant par une étape d'intégration de ce champ.

Voir aussi

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