Courbe tracee sur une surface

Courbe tracee sur une surface

Courbe tracée sur une surface

Une courbe tracée sur une surface Σ est une application différentiable c:I\rightarrow R^3 d'image c(I) contenue dans Σ.

Exemples remarquables

Un œuf de Paques
  • Sur la sphère unité de R3, un grand cercle est la trace sur S2 d'un plan vectoriel. C'est la courbe tracée sur S2 donnée par :
c:\theta\mapsto \cos \theta V+\sin \theta W
où V et W sont deux vecteurs unitaires orthogonaux.
  • Sur une surface Σ, une géodésique est une courbe c tracée sur une surface dont l'accélération c''(t) est orthogonal à Σ. Les grands cercles sur les sphères sont des géodésiques. Ce sont les seules.
  • A Paques, les artistes dessinnent sur des œufs. Les motifs dorés sont des courbes tracées sur la coquille.
  • Plus généralement, les dessins sur les objets consistent en des remplissages de domaines délimités par des courbes tracées sur la surface de l'objet !

Propriétés métriques

L'utilisation de courbes tracées sur une surface X permet de faire le lien entre courbure d'une courbe et seconde forme fondamentale II de X, objet mathématique permettant le calcul des courbures principales de X.

Si c est une courbe tracée sur la surface, et P = c(0), v = c'(0), alors IIP(v) est la composante normale à X de l'accélération c''(0) :

IIP(v) = < c''(0) | ν(P) >


Démonstrations
Introduisons v(t) le projeté orthogonal de c(t) − P sur le plan, vectoriel TPX. Localement, X est le graphe d'une fonction f définie sur le plan tangent TPM. Pour t proche de 0, il vient :
c(t)=P+v(t)+f(v(t))\nu(P)=P+tV+\frac{t^2}{2}c''(0)+o(t^2)
Notons w le projeté de c''(0). Par projection, on obtient :
v(t)=tV+\frac{t^2}{2}w+o(t^2)
Or, par définition de la seconde forme fondamentale, IIP est équivalente à f à l'ordre 2. De fait, il vient :
f\left[c(t)\right]=t^2.II_P(v)
De fait, on écrit :
c(t)=P+tv+\frac{t^2}{2}.\left[w+II_P(v)\nu(P)\right]+o(t^2) =P+tV+\frac{t^2}{2}c''(0)+o(t^2)
D'où le résultat annoncé.

Voir aussi

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