Surface d'egale pente
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Surface d'égale pente
Dans la famille des surfaces paramétrées et orientées de R3, une surface d'égale pente α s'appuyant sur une courbe plane c tracée sur le plan horizontal {z = 0} est l'enveloppe des plans tangents à la courbe c dont la normale fait un angle α avec la verticale.
Paramétrisation
On suppose que la courbe c est paramétrée par sa longueur d'arcs. Un paramétrage possible de la surface d'égale pente α s'appuyant sur c est donnée par :
Évidemment, une fois la formule donnée, il est facile de vérifier a posteriori que le paramétrage est acceptable. Les éléments de démonstration suivants montrent comment arriver naturellement à poser un tel paramétrage :
Démonstrations
- Notons Σ cette surface. Comme c est une courbe tracée sur cette surface, on peut chercher un paramétrage X(s,v) avec X(s,0)γ(s). Évidemment, la raison avancée ne suffit pas à elle seule.
- Le vecteur normal...
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