Loi de Hooke

Loi de Hooke

La loi de Hooke est une loi de comportement élastique linéaire des solides soumis à une déformation de faible amplitude.

Sommaire

Présentation

Cette loi de comportement a été énoncée par Robert Hooke, par la phrase en latin :

ut tensio sic vis (ou son anagramme ceiiinosssttuv) (en 1678 ; expériences datant de 1675)

ce qui signifie « telle extension, telle force », ou bien en termes modernes « l'allongement est proportionnel à la force ». Hooke désirait obtenir une théorie des ressorts, en soumettant ces derniers à des forces croissantes successives. De sa loi deux aspects sont importants :

  1. La linéarité,
  2. L'élasticité.

Ces deux aspects ne sont pas identiques, la linéarité exprime « l'allongement est proportionnel à la force », l'élasticité exprime que cet effet est réversible et permet donc de revenir a l'état initial tel un ressort soumis à de faible forces. L'élasticité a une limite, qui est indépendante de la notion de linéarité, Hooke n'a considéré que la phase élastique et linéaire, donc proportionnelle et réversible.

C'est en quelque sorte une analogie avec l'allongement l - l_0 \, d'un ressort de constante de raideur k \, soumis à une force F \, :

  • l \, : longueur du ressort étiré ou comprimé ;
  • l_0 \, : longueur du ressort à vide.

Pour un ressort on a

F = k \times ( l - l_0 )

Afin de s'abstraire de la forme de la pièce, et notamment de ses dimensions, on divise la force par l'aire de la section de la pièce, grandeur que l'on appelle contrainte σ (exprimée en Pa), et on divise l'allongement par la longueur initiale, grandeur que l'on appelle déformation ou allongement relatif ε (sans dimension).

On note l'allongement relatif ε

\varepsilon = \frac{l-l_0}{l_0}.

On note la contrainte \sigma \, (homogène à une pression)

\sigma = \frac{F}{S}

L'analogue de la constante de raideur du ressort est donc le module de Young E.

La loi de Hooke s'exprime alors sous la forme :

\sigma = E \cdot \varepsilon

où E est le module de Young, une caractéristique du matériau, loi valable pour l'étirement ou la compression d'une pièce, les autres dimensions étant libres de s'étendre.

La linéarité provient du fait que l'on est en faible déformation, on peut donc faire une approximation linéaire de la loi réelle (développement limité au premier ordre). Il s'agit en fait d'approcher le potentiel interatomique par une parabole, voir l'article Déformation élastique > Pourquoi les lois sont-elles linéaires ?.

Dans le cas d'une pièce de forme complexe, la loi de déformation globale n'a aucune raison d'être linéaire, mais par contre, chaque élément infinitésimal de matière se déforme lui de manière linéaire.

Loi de Hooke généralisée (matériau isotrope)

Dans le cas d'un matériau isotrope, si l'on reprend en compte le coefficient de Poisson ν, la loi de Hooke devient :

\sigma_{ij}=\frac{E}{1+\nu }\left( \varepsilon_{ij}+\frac{\nu }{1-2\nu }\varepsilon_{kk}\delta _{ij}\right)

avec δij le symbole de Kronecker et εkk est une notation abrégé de la trace du tenseur des déformations (somme des termes diagonaux du tenseur).

On peut aussi l'écrire sous forme matricielle :

\boldsymbol{\sigma} = \frac{E}{1+\nu }\left( \boldsymbol{\varepsilon} +\frac{\nu }{1-2\nu }\mathrm{Tr}\left( \boldsymbol{\varepsilon} \right) \mathbf I \right)

Les relations ci-dessus peuvent être inversées pour donner :

\varepsilon _{ij}=\frac{1}{E}\left[ \left( 1+\nu \right) \sigma _{ij}-\nu\sigma_{kk}\delta _{ij}\right]

ou, sous forme matricielle (en appliquant la trace à la relation plus haut):

\boldsymbol{\varepsilon} =\frac{1}{E}\left( ( 1+\nu ) \boldsymbol{\sigma}-\nu\mathrm{Tr}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf I\right)


La forme explicite très simple de ces relations (donnant les déformations en fonction des contraintes)

\varepsilon _{11} = \frac {1} {E} \left( \sigma_{11} - \nu \left( \sigma_{22} + \sigma_{33} \right) \right) , ~~~ \varepsilon _{22} = \frac {1} {E} \left( \sigma_{22} - \nu \left( \sigma_{11} + \sigma_{33} \right) \right) , ~~~ \varepsilon _{33} = \frac {1} {E} \left( \sigma_{33} - \nu \left( \sigma_{11} + \sigma_{22} \right) \right)
\varepsilon _{12} = \frac {1 + \nu} {E} \sigma _{12} , ~~~ \varepsilon _{13} = \frac {1 + \nu} {E} \sigma _{13} , ~~~ \varepsilon _{23} = \frac {1 + \nu} {E} \sigma _{23}

montre bien la signification physique du module d'Young E et du coefficient de Poisson ν.

Loi de Hooke généralisée (matériau anisotrope)

Dans le cas d'un matériau anisotrope, on définit la contrainte et la déformation localement par un tenseur 3×3, le tenseur des contraintes [σij] et le tenseur des déformations [εij]. Le comportement élastique du matériau est alors modélisé par un tenseur d'ordre 4 \left[ C_{ijkl} \right] contenant 81 coefficients élastiques. Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur. On a :

\sigma_{ij} = C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}

en appliquant la sommation sur les indices (Convention de sommation d'Einstein).

Du fait de ces propriétés de symétrie, le tenseur Cijkl peut être représenté sous la forme d'une matrice 6x6, où les directions représentent les directions de la déformation.

\begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{12} \\ \end{pmatrix}

Pour simplifier l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, appelée notation de Voigt, avec les axes de compression/traction notés de 1 à 3 et les axes de cisaillement notés de 4 à 6.

Utilisation culturelles

Ut tensio sic vis est la devise de l'École Polytechnique de Montréal.

Voir aussi

v · Module de Young (E) • Module de cisaillement (G) • Module de compression (K) • Premier coefficient de Lamé (λ) • Coefficient de Poisson (ν) • Module d'onde de compression (M, P-wave modulus)
Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
(\lambda,\,G) (E,\,G) (K,\,\lambda) (K,\,G) (\lambda,\,\nu) (G,\,\nu) (E,\,\nu) (K,\, \nu) (K,\,E) (M,\,G)
K=\, \lambda+ \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G-E)} \tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)} \tfrac{E}{3(1-2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E=\, \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda} \tfrac{9KG}{3K+G} \tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} 2G(1+\nu)\, 3K(1-2\nu)\, \tfrac{G(3M-4G)}{M-G}
\lambda=\, \tfrac{G(E-2G)}{3G-E} K-\tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1-2\nu} \tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1+\nu} \tfrac{3K(3K-E)}{9K-E} M - 2G\,
G=\, \tfrac{3(K-\lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1+\nu)} \tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)} \tfrac{3KE}{9K-E}
\nu=\, \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G}-1 \tfrac{\lambda}{3K-\lambda} \tfrac{3K-2G}{2(3K+G)} \tfrac{3K-E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M=\, \lambda+2G\, \tfrac{G(4G-E)}{3G-E} 3K-2\lambda\, K+\tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu} \tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu} \tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu} \tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}

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