Lemme d'Itô

Lemme d'Itô

Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).

Sommaire

Histoire

La formule d'Itô a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itô dans les années 1940.

Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés dans un pli cacheté à l'Académie des sciences qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Énoncé

Soit un processus d'Itô X_t\ , processus stochastique de la forme

X_t=X_0+\int_0^t \mu_s\,ds+\int_0^t \sigma_s\,dB_s,

autrement formulé, on a

dX_t= \mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t

avec \mathcal{}\mu_t et \mathcal{}\sigma_t deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus B_t\ (mouvement brownien).

Si f(X_t,t)\ est une fonction de classe \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+,\mathbb{R}),\ alors la formule d'Itô s'écrit

d(f(X_t,t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(X_t,t)dt + \frac{\partial f}{\partial x}(X_t,t)dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_t,t)\sigma_t^2dt.

Un exemple : le modèle Black-Scholes

Le mouvement brownien géométrique est souvent utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :

dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t \,

où

Si \sigma=0\ , alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est

S_t=S_0\exp\left(\mu t\right).

En posant f(S_t,t)=\ln S_t\ , on obtient grâce à la formule d'Itô :

\begin{align} d(\ln S_t) & = 0 dt + \dfrac{1}{S_t} dS_t + \dfrac{1}{2}\left( - \dfrac{1}{S_t^2}\right) (\sigma S_t)^2 dt,\\ & = \dfrac{1}{S_t} (\mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t) - \dfrac{1}{2}\sigma^2 dt ,\\ & = \left(\mu - \dfrac{1}{2}\sigma^2\right)dt + \sigma dB_t . \end{align}

On peut alors intégrer et il en découle que :

S_t=S_0\exp\left(\sigma B_t +\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2 t\right).

Applications

En calcul stochastique,

  • Elle permet d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions (très) faibles de régularité sur les coefficients.

Voir aussi

Articles connexes

Références

  • C. G. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods (3ème éd.), Springer, 2004. ISBN 3-540-20882-8
  • I. Karatzas et S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, Graduate Texts in Mathematics (2ème éd.), Springer, 2004. ISBN 0-387-97655-8.
  • B. Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction With Applications (6ème éd.), Springer, 2005. ISBN 3-540-04758-1
  • (ouvrage de vulgarisation) G. Pagès et C. Bouzitat. En passant par hasard... les probabilités de sous les jours, Vuibert, 1999. ISBN 2-7117-5258-5
  • D. Revuz et M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion, (3ème éd.), Springer, 2004.ISBN 3-540-64325-7
  • L.C.G. Rogers et D. Williams. Diffusions, Markov processes and martingales (2ème éd.), Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2000. ISBN 0-521-77593-0
  • (en) Karlin S, Taylor H M: A first course in stochastic processes. Academic Press, (1975)
  • (en) Karlin S, Taylor H M: A second course in stochastic processes. Academic Press, (1981)
  • (en) Schuss Z: Theory and applications of stochastic differntial equations. Wiley Series in Probability and Statistics, (1980)
  • Tout ouvrage traitant du mouvement brownien et du calcul stochastique.
v · mathématiques
Algèbre • Algèbre commutative • Algèbre homologique • Algèbre linéaire • Analyse • Analyse réelle • Analyse complexe • Analyse fonctionnelle • Analyse numérique • Calcul quantique • Combinatoire • Géométrie • Géométrie algébrique • Géométrie différentielle • Géométrie non commutative • Optimisation • Physique mathématique • Probabilités • Statistiques • Systèmes dynamiques • Théorie des nombres • Théorie de Galois • Théorie des groupes • Topologie • Topologie algébrique

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