Jules Houel

Jules Hoüel

Naissance	7 avril 1823 Thaon (France)
Décès	14 juin 1886 Périers (France)
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Guillaume-Jules Hoüel, né le 7 avril 1823 à Thaon et mort le 14 juin 1886 à Périers, est un mathématicien français.

Biographie

D’une très ancienne famille protestante de Normandie, Jules Hoüel fit de très bonnes études au lycée de Caen, puis au collège Rollin avant d’entrer, en 1843, à l’École normale supérieure où il émerveilla ses camardes par son énorme puissance de travail, la profondeur et l’originalité de ses idées, ses aspirations à la rigueur et sa défiance des à-peu-près.

Au sortir de l’école, il professa successivement dans les lycées de Bourges, Bordeaux, Pau, Alençon et Caen.

En 1855, il soutint en Sorbonne une thèse en mécanique céleste fort remarquée. Il prit alors un congé pour pouvoir continuer ses recherches de mécanique céleste et pour s’occuper des perfectionnements à apporter à la construction des tables logarithmiques. En dépit de l’insistance de son compatriote Le Verrier qui cherchait à l’attirer à l’Observatoire, Hoüel refusa obstinément de quitter pour la capitale sa maison de Thaon où il resta à poursuivre ses recherches jusqu’à ce qu’en 1859, date à laquelle la Faculté des sciences de Bordeaux lui offrit la chaire de mathématiques pures en remplacement de Le Besgue.

Ayant trouvé dans ce poste dignité et facilité de travail, Hoüel repoussa désormais très loin toute idée d’avancement même lorsqu on lui proposa d’aller à Paris fonder et diriger le Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. Ne reculant jamais devant un service à rendre dès lors qu’il s’agissait d’un service à rendre il consentit toutefois à prendre la lourde charge de la rédaction du Bulletin.

Influence scientifique de Hoüel

Enseignement de la géométrie et de la trigonométrie

Esprit précis et rigoureux, Hoüel ne pouvait se contenter des à peu près. Répéter une suite de phrases et de propositions conventionnelles à ses élèves ne lui suffisait, il voulait connaître la portée et la justesse de ses affirmations. ses premières recherches sur l’enseignement et sur les principes fondamentaux de la géométrie remontent à cette période où il publie une série de notes et de mémoires dans but de consolider l’édifice géométrique qui eurent pour résultat d’entraîner les géomètres à l’étude de régions peu explorées jusqu’alors. L’examen des traités de géométrie élémentaire conduisit Hoüel à la conclusion que tous laissaient à désirer sous quelque rapport. Les Éléments d’Euclide constituant encore ce qu’il y avait de mieux on était en droit de demander, dans les restaurations d’Euclide qui étaient faites, des modifications assez notables. Il fallait remplacer les démonstrations indirectes par des démonstrations directes, en supprimer autant que possible les démonstrations par l’absurde et introduire d’une façon plus nette et bien avouée l’idée de limite. Sans prétendre à l’idée de produire un traité complet de géométrie, Hoüel essaya, dans son « Essai d’une exposition rationnelle des principes fondamentaux de la géométrie », paru à Greifswald en 1863, qu’il publia plus tard sous une forme plus complète et sous le titre d’Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire ou Commentaire sur les XXXII premières propositions d’Euclide, tout d’abord en 1867, puis, en seconde édition, en 1885, de soumettre les premières propositions d’Euclide à une révision délicate, de distinguer d’une façon précise les axiomes d’ordre purement géométrique, de déterminer le rôle de l’expérience dans l’établissement et dans le choix de ces axiomes et d’arriver à un mode d’enseignement rationnel et progressif de la géométrie.

L’existence d’un espace immobile et indéfini, où les corps peuvent être déplacés en conservant toutes leurs propriétés, étant admise, la géométrie est fondée sur la notion indéfinissable et expérimentale de l’invariabilité des figures. L’idée d’invariabilité de forme émane de l’expérience. L’hypothèse de l’invariabilité de figure ne peut être assise sur des expériences susceptibles d’une approximation indéfinie et présentant une certitude objective. Celle-ci est acceptée parce qu’elle paraît plus conforme aux impressions physiologiques et qu’elle explique de la façon la plus simple les phénomènes affectant les sens. Ceci posé, Hoüel prend pour base les axiomes suivants :

Axiome 1. - Trois points suffisent, en général, pour fixer dans l’espace la position d’une figure.

Axiome 1I. - Il existe une ligne, appelée ligne droite, dont la position dans l’espace est complètement fixée par les positions de deux quelconques de ses points, et qui est telle que toute portion de cette ligne peut s’appliquer exactement sur une autre portion quelconque, dès que ces deux portions ont deux points communs.

Axiome Ill. - Il existe une surface telle qu’une ligne droite, qui passe par deux quelconques de ses points, y est renfermée tout entière, et qu’une portion quelconque de cette surface peut être appliquée exactement sur la surface elle-même, soit directement, soit après qu’on l’a retournée, en lui faisant faire une révolution autour de deux de ses points. Cette surface est le plan.

Hoüel établit ces axiomes, d’une part, en faisant appel à l’expérience, d’autre part, en introduisant l’idée du mouvement abstraction faite du temps employé à l’accomplir, c’est-à-dire l’idée de mouvement géométrique. L’idée de mouvement n’est d’ailleurs plus complexe que celle de grandeur et d’étendue car c’est à la notion de mouvement qu’on doit l’idée de grandeur. Il est donc permis de faire appel à cette idée, et il y a avantage à l’employer et à la formuler le plus tôt et le plus explicitement possible, au lieu de la cacher sous des mots sans rigueur et sans précision.

Un des faits principaux sur lesquels Hoüel appuie est l’emploi de l’expérience dans l’établissement des axiomes. Après avoir déterminé l’origine d’une science exacte et après avoir exposé son objet et les problèmes qu’elle a à résoudre, Hoüel remarque que la construction d’une telle science se compose essentiellement de deux parties distinctes ; l’une d’elles consistant à rassembler des faits, à les discuter et à en tirer par induction des conclusions qui servent de principes à la science ; l’autre, qui est la partie purement logique de la science et la seu1e qui ‘ait le droit de porter le nom de mathématique, s’occupant de combiner ces faits généraux, ces principes fondamentaux, et d’en tirer rationnellement toutes les conclusions possibles. S’il est permis au mathématicien, en tant que tel, de choisir comme point de départ les principes, les axiomes qu’il lui plaît de se donner, il doit toutefois s’astreindre à ne pas prendre d’axiomes contradictoires, c’est-à-dire que les principes par lui choisis ne doivent pas, lorsqu’ils ont été combinés par des procédés logiques, conduire à des conclusions contradictoires. Le mathématicien doit d’ailleurs réduire au nombre minimum ses axiomes et n’accepter comme principes fondamentaux que ceux qui logiquement ne peuvent pas se déduire les uns des autres.

Hoüel postulait qu’une science établie de la sorte, que les faits auxquels elle conduit soient susceptibles ou non d’application ou de représentation physique, était vraie au point de vue rationnel, au point de vue absolu. Si au contraire le mathématicien veut établir une science exacte pouvant conduire à des résultats pratiques, il lui faut choisir ses principes en conformité avec les faits d’observation, et il doit alors tirer les axiomes de l’expérience. Si le raisonnement conduit alors à des conclusions fausses, c’est que les hypothèses primordiales sont elles-mêmes fausses, et il faut en changer. La partie purement logique, quoique devenue inutile, était irréprochable.

Considérant que, quoique on puisse choisir de différentes manières les axiomes admis comme servant de base à une science exacte, il faut toutefois les choisir les plus simples possible, en sorte qu’ils s’appuient sur les notions les moins complexes et les plus faciles à concevoir, Hoüel a appuyé à différentes reprises sur la notion de la ligne droite, sur son axiome. Il a été ainsi amené à discuter d’une façon complète la 20^e proposition d’Euclide selon laquelle la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre, proposition que de nombreux auteurs ont choisie comme définition de la ligne droite.

Quoique cette vérité puisse être considérée comme une vérité d’expérience, elle est, au point de vue géométrique, assez complexe et Euclide a démontré, au lieu de l’admettre, cette proposition qui comprend l’idée de grandeur et de comparaison de la ligne droite à tous les chemins possibles. Le terme longueur demande pour être nettement compris et parfaitement précisé, les notions de limite et d’infiniment petit. Remarquant que la droite est la seule ligne pour laquelle on voudrait prendre comme définition une proposition où figure une propriété de maximum ou de minimum, Hoüel est revenu à plusieurs reprises sur la définition de la longueur d’une courbe et sur l’introduction dans cette définition de la notion nécessaire d’infiniment petit : « j’ai établi d’une manière irréfutable […] que le mot longueur d’une courbe est complètement vide de sens au point de vue de la rigueur mathématique tant qu’on n’a pas établi une suite de théorèmes dont le dernier est une application élémentaire du calcul intégral. »

Le quatrième axiome que prend Hoüel est le suivant : Par un point donné on ne peut mener qu’une seule parallèle à une droite donnée. C’est là l’axiome XI (dit postulatum) d’Euclide que l’on avait si souvent voulu réduire aux autres axiomes, mais sans jamais y parvenir. déjà en 1863 Hoüel considérait la démonstration du postulatum d’Euclide comme impossible. On peut d’ailleurs prendre comme axiome une proposition différente ; c’est ainsi que, en faisant appel à la notion de direction, l’idée de direction étant alors considérée comme une. donnée fondamentale de l’expérience, Hoüel montre que l’on peut prendre cet axiome : Deux droites de même direction ne peuvent se rencontrer, et sont parallèles. Quoi qu’il en soit, il admet le postulatum d’Euclide ou bien il la remplace par une proposition équivalente.

Les idées de Hoüel ne devaient pas tarder à se préciser sur ce point, et cela grâce à la connaissance des travaux de deux géomètres, l’un russe et l’autre hongrois. Le monde savant laissait dans l’oubli les noms de Nicolaï Lobatchevsky et de János Bolyai, tandis que les recherches sur la proposition des parallèles affluaient dans les journaux scientifiques. En 1866, Hoüel écrit : « II paraît certain que la démonstration de l’axiome XI d’Euclide ne peut se déduire des axiomes précédents. »

Dès que Hoüel eut ainsi connaissance des travaux de Nicolaï Lobatchevsky, professeur à l’université de Kazan, il se mit à l’ouvrage et, dès l’année 1866, il publia la traduction des études géométriques sur la Théorie des parallèles de ce dernier dans les Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux. Gauss était en possession depuis 1792 des vrais principes sur lesquels repose la géométrie et il avait fondé sur ces bases une doctrine complète à laquelle il avait donné le nom de « géométrie non euclidienne ». Il n’avait cependant rien publié de ses recherches dont on ne connaissait que quelques résultats fournis par certaines notices des Geleltrte Anzeiger et par des passages de sa correspondance avec Schumacher qui n’a été éditée qu’en 1860. Lorsque Gauss eut connaissance des travaux de Nicolaï Lobatchevsky et du géomètre hongrois János Bolyai, il renonça à la propriété de ses découvertes, et se contenta de donner son adhésion complète à la géométrie imaginaire de Lobatchewsky, tout en trouvant la dénomination mal choisie.

Hoüel parvint à se procurer l’un des deux exemplaires du rarissime opuscule de János Bolyai pour en faire la traduction qu’il publia sous le nom de La Science absolue de l’espace indépendant de la vérité ou de la fausseté de l’axiome XI d’Euclide (que l’on ne pourra jamais établir a priori), suivie de la quadrature géométrique du cercle, dans le cas de la fausseté de l’axiome XI. Tirant alors parti de tous les matériaux qu’il avait recueillis, Hoüel publia sa Note sur l’impossibilité de démontrer, par une construction plane, le principe de la théorie des parallèles du postulatum d’Euclide, arrivant ainsi au résultat qu’il avait prévu dès 1863. Hoüel rendit à la science un service en tranchant la question. La théorie des parallèles cessa d’être l’écueil et le scandale des éléments de géométrie et le premier résultat obtenu par Hoüel fut de tranquilliser les mathématiciens, tout en leur évitant des recherches aussi laborieuses que vaines et inutiles. Ayant montré l’importance de l’étude des principes fondamentaux de la géométrie, Hoüel fut rapidement suivi dans cette voie par les Witte, Agolini, Baltzer, Batlaglini, Genocchi, Fleury, Engel, de Tilly, Becker, Lionnet, Bounel, Lamarle, Rosanes, Transon, Bouniakowski, Liard, Clifford, Cassano, Flye Sainte-Marie, Saleta, Frischauf, Helmholtz, Funcke, Günther, Liebmann, Schmitz-Dumond, Schlegel, Zolt, Lewes, Lüroth, Tannery, Vachtchenko-Zakhartchenko, etc.

Hoüel a également publié quelques remarques sur la Trigonométrie dans le Giornale di Matematiche où il déplorait que les principes de la trigonométrie ne soient en général pas exposés avec la simplicité et la généralité désirables et montrait les modifications devant être introduites dans son enseignement. On avait l’habitude d’introduire dès le début l’emploi des tables donnant non les valeurs numériques des fonctions circulaires, mais de leurs logarithmes. Hoüel fit voir qu’il serait préférable de commencer par l’étude de la construction si simple des tables des valeurs naturelles de ces fonctions avec un nombre très restreint de décimales. Il appuya plus spécialement sur la pratique vicieuse alors en vogue chez les calculateurs et d’après laquelle on s’imaginait toujours abréger le travail en réduisant tous les termes d’une formule trigonométrique à un seul à l’aide d’angles auxiliaires.

Tables

Hoüel fut toujours un calculateur remarquable. Dans le choix d’un sujet de thèse de doctorat, il n’avait pas reculé devant un sujet exigeant de longs et difficiles calculs numériques. Selon lui, le calcul représentait dans les sciences mathématiques l’expérience dans les sciences physiques et naturelles. Les tables de toute nature étant les appareils que le mathématicien employait dans ce genre tout particulier d’expériences, il fallait, pour que le travail soit facile et ne rebute pas les géomètres, que les recherches soient commodes et qu’elles exigent le moins de temps possible. C’est pourquoi Hoüel consacra une bonne portion de sa vie à la construction des tables et aux perfectionnements qu’elles demandaient.

Le travail entrepris par Hoüel étant aride, il y consacrant de nombreuses heures, pesa les avantages et les inconvénients que présentaient les différentes tables publiées jusqu’alors, les étudia à tous les points de vue et plus particulièrement tout d’abord au point de vue de la correction. C’est ainsi qu’il avait reconnu avec Lefort de nombreuses incorrections dans des tables de logarithmes fort répandues à cette époque. Dans Les Nouvelles Annales de Mathématiques, Lefort et Hoüel signalèrent aux éditeurs et aux savants les erreurs contenues dans la dernière partie de la Table des logarithmes des nombres de Callet, erreurs constatées par collation de la Table de Callet sur les grandes tables du Cadastre.

Les tables que publia Hoüel ne satisfirent qu’en partie au vœu exprimé par Gauss d’avoir des tables logarithmiques au nombre plus ou moins restreint de décimales, puisqu’elles contenaient les parties proportionnelles, mais celui-ci aurait sans doute excusé ce luxe arithmétique en considération de la parfaite convenance des dispositions générales et de la correction des détails d’exécution. il faut aussi tenir compte, En ce qui concerne la présence des parties proportionnelles, du fait que si les tables devaient être mises entre les mains des élèves pour y apprendre à se servir des logarithmes, il était bon qu’ils apprennent aussi à connaître l’emploi des parties proportionnelles qui leur seraient peut-être utiles plus tard dans des calculs plus délicats.

Fondées sur les tables de Lalande, les tables de Hoüel, parues à l’origine en format in-18, comprenaient uniquement les logarithmes de 1 à 10,000, et les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes de 0 à 45°. Parmi les additions faites par Hoüel à la collection de Lalande, on remarque spécialement une table de logarithmes d’addition et de soustraction, c’est-à-dire une table destinée à faciliter la recherche du logarithme de la somme ou de la différence de deux nombres, connus seulement par leurs logarithmes. Les logarithmes d’addition et de soustraction étaient déjà assez répandus en Allemagne et en Angleterre mais c’était la première édition française de tables de ce genre auquel on donne souvent le nom de logarithmes de Gauss, bien qu’ils soient dus à Leonelli.

Les tables de logarithmes de Leonelli fournissent une relation entre les trois fonctions A, B, C, qui représentent respectivement log x, log et log (1 + x). Dans les tables calculées primitivement par Gauss, d’après les idées de Leonelli, puis étendues pnr MatLhiessen, la quantité A est prise pour argument et on trouve en regard les valeurs correspondantes de B et de C. Plus tard, Zech a établi deux tables séparées, l’une pour l’addition, l’autre pour la soustraction ; la première a pour argument A et donne la valeur de B, la seconde a pour argument B et donne la valeur de C. Cette séparation, typographiquement nécessaire pour des tables à double entrée, comme celles de Zech, était motivée d’une manière générale par la différence d’étendue que chacune de ces fonctions doit occuper dans l’échelle numérique et par la simplification qu’elle amène dans le calcul des parties proportionnelles. Ces dernières considérations suffisaient pour déterminer Hoüel à adopter la séparation, bien que ses tables fussent à simple entrée, mais il a encore amélioré la disposition de Zech en prenant le nombre C pour argument de la seconde table, dont il a pu ainsi diminuer l’étendue, sans restreindre le degré d’approximation qu’elle doit fournir.

Les tables d’addition et de soustraction servent non seulement à résoudre plus simplement que par tous autres procédés ce problème : étant donnés log m et log n, trouver log (m n) ; elles donnent en outre une solution plus approchée que celles que l’un pourrait déduire des autres modes de calcul, si on les mettait en œuvre à l’aide de tables ordinaires qui ne comprendraient pas plus de chiffres décimaux que les tables spéciales. Hoüel a donc accompli une œuvre utile en cherchant à faire fructifier en France une idée qui, après y avoir germé il y avait plus d’un demi-siècle, avait été étouffée sous le jugement précipité de Delambre.

Pouvant fournir avec cinq décimales exactes le logarithme d’un nombre ou le nombre correspondant à un logarithme, et faire connaître à cinq secondes près un arc donné par le logarithme de son sinus, Les tables à cinq décimales de Hoüel suffisaient donc largement aux besoins des ingénieurs civils et militaires, des architectes, des géomètres aux travaux reposant en général sur des opérations et sur des formules loin de présenter un degré d’approximation s’étendant aux décimales d’ordre élevé. Le nombre d’éditions qui se succédèrent ont montré quelle en était l’utilité.

Hoüel s’est occupé également de la détermination des logarithmes avec un nombre considérable de décimales. Les calculs de celte nature présentaient une difficulté sérieuse. L’Arithtmetica logarithmica de Briggs donnait les logarithmes avec quatorze décimales, mais le traité de Briggs étant devenu très rare, il n’y avait, en dehors de cet ouvrage, que peu de tables de cette espèce et celles que l’on possédait étaient fort peu étendues. Même avec de tels recueils, la recherche des nombres y était trop longue et trop ennuyeuse. Briggs avait déjà donné dans son ouvrage une Tabula Inventioni logarithmorum inserviens permettant de trouver de façon précise et rapide le logarithme d’un nombre donné. La méthode de Briggs avait été laissée dans l’oubli. Dans son travail « Sur une simplification apportée par M. F. Burnier à la méthode de Flower pour l’usage des tables de logarithmes abrégées », Hoüel a donné un exemple d’une table de cette nature empruntée à Steinhauser et en a expliqué l’usage. Le problème à résoudre était double. Il s’agissait de déterminer le logarithme d’un nombre donné, ou bien le nombre correspondant à un logarithme donné. La première question a été résolue assez simplement en 1771 par Flower : Hoüel l’applique à log π. Burnier a simplifié cette méthode et Hoüel a donné un exemple numérique de la forme nouvelle alors obtenue.

Les applications numériques devant être faites, dans la plus grande partie des calculs d’astronomie et de physique, à un nombre restreint de décimales, les tables à cinq décimales auraient été suffisantes si l’on n’avait eu besoin que des logarithmes des nombres et des différentes fonctions circulaires. Hoüel publia donc, en complément à ses tables à cinq décimales, son Recueil de formules et de Tables numériques, contenant sous un volume restreint un nombre considérable de renseignements précieux. Dans son Introduction sur la disposition et l’usage de ces tables, Hoüel appuie d’une façon plus particulière sur les fonctions hyperboliques de Lambert, sur les fonctions elliptiques et sur leurs applications.

Le choix de l’unité angulaire est une des questions qui occupèrent Hoüel pendant de longues années. Déjà sa note IV « Sur l’unité angulaire », de l’Essai de Greifswald de 1863, était relative à cette question. Hoüel y montrait l’avantage que présenterait pour le calculateur le choix du quadrant comme unité d’angle et la division décimale appliquée à celle unité. Hoüel est revenu à plusieurs reprises sur ce sujet. Il avait admis, dans sa « Note sur les avantages qu’offrirait pour l’Astronomie théorique et pour les sciences qui s’y rapportent la construction de nouvelles tables trigonométriques suivant la division décimale du quadrant », que le bouleversement total des habitudes des astronomes et la refonte d’une masse énorme de documents présentait des inconvénients contre lesquels il était assez difficile de lutter. Il montrait néanmoins que, pour tous les calculs autres que les calculs immédiats des observations astronomiques et nautiques, la division décimale ne présentait que des avantages et que son adoption rendrait d’immenses services dans les applications numériques à la mécanique céleste, à la géodésie et à la topographie. Il faudrait, si une telle mesure était adoptée, construire une série de tables trigonométriques, à un plus ou moins grand nombre de décimales, suivant cette division. Et le travail est déjà fait; il n’y aurait qu’à copier les tables du Cadastre, ce glorieux monument resté jusqu’ici sans emploi.

Ne se contentant pas d’exposer ses vues théoriques sur ce sujet, Hoüel les mit immédiatement en pratique en publiant ses tables pour la réduction du temps en parties décimales du jour. Plus tard encore, lorsque la même question fut débattue devant l’Académie des sciences, il envoya une note nouvelle sur le choix d’unité angulaire pour défendre l’idée qu’il croyait bonne. Mais il se heurtait à des habitudes enracinées depuis trop longtemps. S’il était suffisant, dans la plupart des calculs logarithmiques, d’avoir recours à des tables à cinq décimales et si, d’autre part, ce n’est que dans des conditions tout à fait exceptionnelles que l’on avait besoin de quinze ou même de vingt chiffres, il y avait déjà un assez grand nombre de cas, comme dans les calculs délicats de la géodésie et de l’astronomie, où il était nécessaire de disposer de tables à sept décimales.

Hoüel reprit les tables de Schrön, qui constituaient l’ouvrage le plus remarquable et le plus correct qui ait jamais paru jusqu’alors, pour donner une édition française tant des tables de logarithmes que des tables de proportion, avec une introduction nouvelle, quelques modifications dans la disposition matérielle des tables, l’adjonction d’une table de nombres usuels avec leurs logarithmes. Ces adjonctions, jointes à un soin de chaque instant pendant la publication, rendirent l’édition française encore supérieure à l’édition allemande

Analyse

La tournure d’esprit de Hoüel l’appelait à s’occuper d’une façon toute particulière des fondements du calcul infinitésimal. Il se trouva forcé, par les cours qu’il avait à donner à la Faculté des sciences de Bordeaux, d’en approfondir les différentes parties. Il consacra à son enseignement tout le temps que lui laissaient ses autres travaux. Infatigable, il ne craignait pas de consacrer une bonne partie de ses veilles laborieuses à la recherche des meilleurs procédés de démonstration, au perfectionnement des théories considérées jusqu’alors comme particulièrement difficiles. Chaque leçon était préparée et écrite avec le plus grand soin : l’ensemble des leçons d’une année servait à la rédaction des cours de l’année suivante. Hoüel est ainsi parvenu à publier en 1871 son Cours autographié puis, continuant sur cette première édition, la révision successive des différentes branches de l’analyse, il couronna ses travaux par la publication du Cours de Calcul infinitésimal dont les volumes se succédèrent d’année en année de 1878 à 1881.

Le tirage des Leçons autographiées publiées par Hoüel en 1872 étant rapidement épuisé, Hoüel en fit imprimer une édition plus complète à laquelle les professeurs et le monde savant fit l’accueil le plus favorable. Dans son introduction, Hoüel s’occupe tout d’abord des principes généraux du calcul des opérations considérées au point de vue le plus abstrait, indépendamment de leur nature intrinsèque et de celle des quantités qui leur sont soumises, et en ayant égard uniquement à leurs propriétés combinatoires. Clairement et simplement exposées, ces notions à l’importance longtemps méconnue y servent de base à l’étude du calcul infinitésimal, mais leur influence s’étend bien au-delà et Hoüel est revenu à maintes reprises sur les lois des opérations et leurs propriétés combinatoires. Hoüel s’était déjà occupé de cette question dans son Essai critique, dans sa Théorie des fonctions complexes (IV, Introduction aux Quaternions), pour y revenir encore dans ses Considérations sur l’idée de quantité, cherchant ainsi, dans différents essais successifs, la forme la plus convenable à donner à cette théorie. Grassmann avait formulé depuis longtemps les propositions fondamentales auxquelles on est conduit dans cette voie et Hankel avait présenté la chose d’une façon plus simple dans ses Vorlesungen über complexe Zahlen. Considérant le Calcul des Opérations au point de vue des applications auxquelles il conduit, Hoüel adopta la méthode de Hankel tout en conservant les notations de Grassmann, qui avaient l’avantage de se prêter facilement à la généralisation, parce qu’elles ne rappelaient par leur forme aucune des notations usuelles, tout en permettant de conserver aux calculs la disposition à laquelle on était habitué.

Hoüel avait été frappé du manque de rigueur avec lequel était présentée à son époque, la théorie des quantités négatives et des quantités imaginaires. Aucune démonstration satisfaisante des règles de calcul relatives à ces quantités n’était donnée. Une série de phrases, dont la forme était savamment déterminée, mais dont le fond manquait absolument de précision, tenait lieu de plus ample démonstration. Ne pouvant se contenter d’un tel état de choses, Hoüel se mit à l’œuvre et arriva, d’une façon tout à fait indépendante de Hamilton, de Grassmann et de Hankel, à la notion du principe de permanence des règles de calcul pour reconnaître de lui-même l’impossibilité d’étendre les règles de calcul admises pour les quantités arithmétiques à toute autre quantité que les quantités négatives et complexes.

Le livre Sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques (Paris, 1806, in-8°) d’Argand à qui l’on devait l'une des premières interprétations géométriques des quantités complexes, étant devenu très rare, Hoüel rendit un nouveau service à l’histoire de la science en s’en procurant un exemplaire dont il publia une seconde édition, précédée d’une notice sur l’auteur.

L’histoire du développement des idées fondamentales dans la science a toujours attiré l’attention de Hoüel. Il a fait tout ce qu’il a pu pour répandre dans notre pays les connaissances acquises et appréciées à l’étranger. Il a esquissé les différentes phases du développement de l’idée de quantité complexe formée avec deux ou avec plusieurs unités linéairement indépendantes dans les Procès-Verbaux des Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux et dans sa Théorie des quantités complexes. Il avait déjà communiqué aux Nouvelles Annales la méthode de Giusto Bellavitis connue sous le nom de calcul des équipollences, où celui-ci avait exposé tout le parti que l’on peut tirer dans les questions les plus simples, tout aussi bien que dans les problèmes réputés les plus difficiles, des constructions dues à Argand. Dans la quatrième partie de sa Théorie des quantités complexes, il essaie d’introduire en France la théorie des quaternions de Hamilton qui y était à peine connue. Hoüel est un de ceux qui ont le plus activement agi pour introduire en France la théorie des déterminants dont l’origine remonte à Leibniz.

Hoüel a également compilé des tables de notation et travaillé sur les perturbations planétaires.

Publications

• Considérations élémentaires sur la généralisation successive de l'idée de quantité dans l'analyse mathématique : suivi de remarques sur l'enseignement de la trigonométrie, Paris, Gauthier-Villars, 1883
• Cours de calcul infinitésimal, Paris, Gauthier-Villars, 1878-1881
• Éléments de la théorie des quaternions, Paris, Gauthier-Villars, 1874
• Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire ou commentaire sur les XXXII premières propositions des éléments d'Euclide, Paris, Gauthier-Villars, 1867
• Essai d'une exposition rationnelle des principes, fondamentaux de la géométrie élémentaire, Greifswald, Th. Kanike, 1863
• Mémoire sur le développement des fonctions en séries périodiques au moyen de l'interpolation, Paris, Gauthier-Villars, 1864
• Notions élémentaires sur les déterminants, Paris, Gauthier-Villars, 1871
• Recueil de formules et de tables numériques, Paris, Gauthier-Villars, 1868
• Sur l’Intégration des équations différentielles dans les problèmes de mécanique, Paris, Mallet-Bachelier, 1855
• Sur le Calcul des équipollences : méthode d'analyse géométrique de M. Bellavitis, Paris, Gauthier-Villars, 1869
• Tables de logarithmes à cinq décimales : pour les nombres et les lignes trigonométriques, suivies des logarithmes d'addition et de soustraction ou logarithmes de Gauss et de diverses tables usuelles, Paris, Gauthier-Villars, 1871
• Théorie élémentaire des quantités complexes, Paris, Gauthier-Villars, 1867-1874

Sources

• G. Brunel, Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, t. IV, Paris, Gahier-Villars, 1888, p. 1-78.
• George Bruce, « Halsted Biography: Guillaume Jules Hoüel », The American Mathematical Monthly, Vol. 4, No. 4., Apr. 1897, p. 99-101.

Lien externe

• Sur le développement de la fonction perturbatrice suivant la forme adoptée par Hansen dans la théorie des petites planètes Ouvrage de Houël numérisé par le SICD des universités de Strasbourg.

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