Inégalités de Bell

En mécanique quantique, les inégalités de Bell (du nom de leur auteur : John Stewart Bell) sont les relations que doivent respecter les mesures sur des états intriqués dans l'hypothèse d'une théorie déterministe locale à variables cachées. Jusqu'à présent, l'expérience démontre que les inégalités de Bell sont systématiquement violées, nous forçant à renoncer à une des deux hypothèses suivantes:

• Un signal ne peut aller plus vite que la vitesse de la lumière dans le vide.
• Un objet ne peut occuper qu'un seul endroit de l'espace à un instant donné (principe de localité).

Sommaire 1 Les prémisses conduisant à l'élaboration des inégalités de Bell 2 Présentation et formulation mathématique simplifiée des inégalités de Bell 3 Les implications en fonction de la mécanique quantique 4 Les conséquences théoriques et philosophiques de la violation de ces inégalités 4.1 L'école de Copenhague 4.2 Théories non locales 4.3 Variables cachées 4.4 Multivers (théorie d'Everett) 5 Inégalité faible et inégalité forte 6 Conclusions 7 Bibliographie 7.1 Travaux originaux 7.2 Autres références 8 Voir aussi 8.1 Liens internes 8.2 Liens externes 9 Notes

Les prémisses conduisant à l'élaboration des inégalités de Bell

Deux particules sont dites dans un état intriqué lorsque l'état des deux particules n'est pas factorisable en un produit tensoriel de deux états à une particule. Cela peut être obtenu par exemple lorsqu'une particule se scinde en deux particules corrélées. Les lois de conservation conduisent à des valeurs identiques ou strictement opposées des propriétés de ces deux particules tels que l'impulsion ou le moment angulaire (l'état de spin). Lorsque l'on effectue une même mesure, par exemple la mesure du spin dans une direction donnée, sur deux particules intriquées on obtient deux résultats corrélés (deux résultats identiques dans le cas du spin d'un photon). En pratique, cela s'appuie sur une série expérimentale répétitive, avec un appareillage bien défini.

Ce type de situation est décrit dans le paradoxe EPR. Lorsque Einstein, Podolsky et Rosen usaient du phénomène de l'intrication pour défendre le réalisme, ils ne se doutaient pas d'avoir soulevé un autre problème encore plus intriguant. Le principe d'une corrélation systématique ne suscita pas plus d'interrogation au commencement. En effet, lors de la formulation du paradoxe en 1935, la prédictibilité certaine semblait être propre à certains types de vecteurs d'états, et en conformité avec la prédictibilité chère aux réalistes^[1].

Une particule dans un état non polarisé peut être mesurée avec un spin vertical ou horizontal avec une chance sur deux. Et des mesures successives sur des particules dans les mêmes conditions d'expériences donneront des résultats imprévisibles. Cependant, dans le cas de particules intriquées, bien que les états des particules appariées soient localement aléatoires pour chaque couple de particules intriquées, on observe toujours une corrélation entre les deux résultats, sans que les états des particules respectives puissent se prédire à l'avance (incompréhension). Donc, selon la mécanique quantique, l'appariement des particules intriquées apparaît comme étant non compréhensible dans un cadre réaliste, les particules appariées obéissant chacune à la loi des probabilités. Les résultats des mesures suivant une probabilité aveugle selon l'école de Copenhague. En concevant ses fameuses « inégalités », Bell ouvrait la voie vers la mise sur pied d'un outillage théorique, devant permettre de démontrer que la théorie quantique était incomplète. Il devrait exister des variables cachées faisant défaut à la théorie quantique, devant en théorie être mises à nues par les effets d'une observable Δ qui permettrait de mesurer un décalage par rapport aux prédictions quantiques de 41% dans un espace de Hilbert (l'inégalité de Bell). Ainsi, Bell envisageait de démontrer le principe de séparabilité^[2].

La puissance de prédiction théorique de la mécanique quantique a été vérifiée par diverses expériences construites sur base de la méthode fondée sur l'inégalité de Bell, détruisant jusqu'à ce jour l'argument d'incomplétude de la théorie quantique qui aurait dû dissiper l'incompréhension qui dérange tant les réalistes. Deux particules intriquées forment donc un seul et unique système, d'où la notion de non séparabilité, appuyant la non localité. Les particules intriquées semblent ainsi intimement liées, comme si une fois intriquées l'espace n'existait plus pour elles, contrevenant au principe de séparabilité telle qu'elle est soutenue en physique relativiste.

Dans le cas de deux particules indépendantes, on décrira l'état comme :

Tandis que dans le cas intriqué une telle décomposition n'est pas possible.

Présentation et formulation mathématique simplifiée des inégalités de Bell

Les résultats des mesures ne sont pas nécessairement identiques sur les deux particules. Par exemple, on peut mesurer le spin d'une des particules selon un certain angle et le spin de l'autre particule selon un autre angle.

Les résultats des mesures sont alors de nature statistique. Par exemple, la mesure du spin à l'aide d'un polariseur donne toujours un résultat tout ou rien. Ce que l'on obtiendra alors pour les deux mesures sont des statistiques de coïncidences : les deux mesures donnent un résultat identique dans X% des cas (et non 100% dans le cas de mesures identiques). Un grand nombre de mesures successives (sur un grand nombre de paires de particules) permet alors de calculer la corrélation entre ces mesures de spin sous des angles différents.

Si l'on se place dans l'hypothèse des théories locales déterministes à variables cachées, les inégalités de Bell donnent des relations auxquelles ces corrélations doivent obéir.

Nous allons démontrer ces inégalités dans un cas un peu plus simple que celui d'un angle quelconque afin de bien montrer l'origine du raisonnement.

Soit deux particules α et β dont le spin a trois composantes A, B et C. Les composantes peuvent prendre deux valeurs + et -. Pour chaque composante, nous noterons les valeurs A ⁺ , B ⁻ , etc. Les deux particules ont des spins opposés. Lorsque α a la composante A ⁺ , alors β a la composante A ⁻ , etc.

On mesure des paires de valeurs AB, AC et BC sur les deux particules. Le résultat des mesures est désigné par A ⁺ C ⁻ , etc.

Si l'état des particules est déterministe, décrit par des variables cachées, alors chaque particule a un spin parfaitement déterminé avec des composantes A, B et C précises. Même si les variables cachées ne sont pas connues avec exactitude, et donc le spin, il n'empêche que cette valeur précise existe.

Soit un ensemble de particules dans un état de spin donné pris dans un ensemble plus vaste, quelconque, de particules dans tous les états possibles. Par exemple est l'ensemble des particules avec ces composantes, l'ensemble des particules avec ces composantes, ...

Alors nous aurons :

et

Ces relations découlent tout simplement de la théorie des ensembles.

Donc :

Si désigne le nombre de particules dans cet état, alors :

Maintenant, nous effectuons nos mesures sur deux particules de spins opposés et ces particules sont émises sous forme d'un flux de particules de spins quelconques. Nous en déduisons que :

où est la probabilité de mesurer A ⁺ sur l'une des particules et B ⁺ sur l'autre.

C'est un exemple d'inégalité de Bell.

Dans le cas de la mesure du spin selon un angle quelconque, on n'utilise que deux composantes du spin et l'angle entre les composantes. Le calcul est un peu plus compliqué mais semblable. Le résultat est :

où α, β et γ sont des angles donnés aux polariseurs et est la fonction de corrélation pour ces deux angles (la corrélation peut être négative).

Les implications en fonction de la mécanique quantique

Dans le cas de la mécanique quantique, si l'angle du premier polariseur est α et l'angle du deuxième polariseur est β, alors le calcul (identique à la probabilité de mesurer le spin selon l'angle α alors que l'on sait que le spin a été mesuré selon l'angle β) donne :

Comme on mesure des coïncidences, la fonction de corrélation est alors donnée par :

On voit que les inégalités de Bell sont violées pour, par exemple, des angles égaux à , et .

L'expérience (par exemple celle d'Alain Aspect) a largement confirmé ces résultats et aussi que la loi de Malus était vérifiée sur des photons individuels.

Les conséquences théoriques et philosophiques de la violation de ces inégalités

Le résultat d'une mesure n'est pas totalement inscrit dans l'état de la particule puisque les résultats ont une nature probabiliste. Toutefois la mesure sur les deux particules donne bien deux résultats corrélées. Quelle est la nature du lien garantissant le fait que le résultat sera le même ? Plusieurs hypothèses sont possibles.

L'école de Copenhague

La première approche, celle de l'école de Copenhague, est d'admettre la mécanique quantique telle qu'elle est. De dire que les résultats sont réellement non déterministes et les états intriqués correctement décrits par la mécanique quantique. Cela peut poser de gros problèmes d'interprétations qui ne sont d'ailleurs pas entièrement résolus à notre époque. La nature du "lien" entre les deux particules reste assez difficile à saisir (voir Conclusions). Pour les défenseurs de cette conception de la théorie quantique, les tentatives d'explications de rationalisation de la théorie quantique ne sont pas un problème de physique.

Théories non locales

Dans le cadre des théories non locales, on émet l'hypothèse qu'un signal instantané (de nature inconnue) permet à une particule d'être informée du résultat d'une mesure sur l'autre particule, pour établir la corrélation de la paire de particules intriquées, qui pourra se vérifier expérimentalement au moment où l'état de la seconde des deux particules sera mesurée à son tour. Certaines variantes de l'expérience d'Aspect montrent que ce signal peut être parfois interprété comme remontant le temps dans le référentiel d'une des deux particules. Ceci soulève un problème conceptuel difficilement admissible, conduisant à des conclusions contredisant le sens commun.

Variables cachées

L'hypothèse précédente a de fait l'inconvénient d'être en désaccord avec la relativité restreinte. De plus, le comportement probabiliste de la mécanique quantique peut être perçu comme une défaillance de cette théorie. Une solution consiste à émettre l'hypothèse que la description quantique de l'état est incomplète. Selon un raisonnement classique, la corrélation pourrait être expliquée par des variables cachées, établies au moment où les deux particules intriquées étaient réunies, et ensuite transportées par chacune d'entre-elles. Cela permettrait d'expliquer très simplement les corrélations, qui ne seraient pas plus mystérieuses que les fameuses "chaussettes de Berltmann", du nom d'un professeur qui était réputé pour toujours porter des chaussettes dépareillées. Il existe une "corrélation" entre les deux chaussettes, et - quelle que soit la séparation de celles-ci - il est possible, en mesurant l'une, d'avoir des déductions sur la couleur de l'autre. En fait, la "couleur" est en fait une "variable cachée locale" à la chaussette, mais ce genre de variable ne semble pas exister pour l'état de spin (ou tout autre état quantique) de la particule.

Les inégalités de Bell permettent d'éprouver la statistique des corrélations associées à ce type de théories. Leurs violations ont montré que l'intrication ne peut être décrite par une théorie à variables cachées locales, du type "chaussettes de Berltmann". En revanche, la violation des inégalité de Bell n'exclue pas des théories à variables cachées non-locales, comme la théorie de De Broglie-Bohm.

Multivers (théorie d'Everett)

Une autre conséquence étrange, mais parfaitement sérieuse, déduite de l'existence d'états quantiques superposés, conduit à une théorie aussi troublante que le problème traité : la théorie d'Everett. Selon cette théorie, les variables cachées se situent à un autre niveau, la mécanique quantique devient déterministe et les résultats des mesures des états des particules ne sont aléatoires qu'en apparence. La théorie d'Everett soutient que la méthode de mesure des états des particules d'une façon ou d'une autre, conduit à une démultiplication de l'univers, où chacun des résultats escomptés à lieu de façon locale et séparée dans autant d'univers parallèles, dans le cadre des différents résultats probables. Suivant cette théorie proposée par Hugh Everett, la mécanique quantique est donc incomplète et ne décrit qu'un univers à la fois.

Le fait pour un observateur d'effectuer une mesure le ferait entrer dans une de ces réalités multiples, donnant l'impression à chaque mesure effectuée dans l'une des réalités parallèles l'impression d'un résultat univoque strictement imprévisible. Sur le papier, Everett souligne que selon que l'on opère les mesures des particules intriquées avec des polariseurs orientés de la même façon ou de façon opposée, nous obtenons des résultats respectivement compatibles ou non avec la notion de séparabilité. Avec l'acceptation de la démultiplication en autant d'univers que d'opérations de mesures, nous retournons à une physique cohérente, déterministe et locale compatible avec les prédictions de la mécanique quantique^[3].

Inégalité faible et inégalité forte

Il est remarquable que selon la théorie, avec des instruments performants à 100% on aurait théoriquement une corrélation absolue entre les particules intriquées. Or cela est simplement impossible à vérifier technologiquement. Les inégalités de Bell dans leur formulation initiale étaient impossibles à vérifier avec un appareillage réel. Des éléments comme la disposition des polariseurs, filtres et détecteurs devaient fausser les résultats des expériences. Pour pouvoir faire une expérience réalisable techniquement, il était donc nécessaire d'intégrer dans les calculs initiaux de Bell la marge d'erreurs induites par l'appareil expérimental. Il existe des polarisateurs et des filtres opérant avec une efficacité de 95 à 98%, l'efficacité des photomultiplicateurs étant de l'ordre de 10 à 20%, il fallait donc tenir compte de ces limites technologiques lors des expériences^[4]. C'est ainsi que, pour pouvoir tester l'inégalité de Bell avec l'imperfection des techniques réalistes, des hypothèses additionnelles de CHSH (en) et de CH74 inequality (en) furent introduites dans les expériences pour transformer les inégalités faibles de Bell ne pouvant être vérifiés qu'avec des instruments parfaits, en inégalités fortes^[5] enfin vérifiables avec des instruments réels. Inégalités fortes qui furent systématiquement violées par les expériences et confirmant les prédictions quantiques.

Conclusions

Comme les inégalités de Bell sont expérimentalement violées, il semble^[6] impossible de construire une théorie locale déterministe à variables cachées rendant compte des résultats expérimentaux. Cela n'interdit pas la construction de théories déterministes non locales à variables cachées. Cependant, le fait que la mécanique quantique n'ait jamais été mise en défaut semble rendre peu utile une telle recherche. Louis De Broglie, a ainsi proposé^[7] une modélisation des ondes quantiques où la fonction d'onde ou onde pilote devait guider le mouvement de la particule de façon causale et déterministe, mais non locale. La particule devant se trouver potentiellement sur toute l'étendue de l'onde pilote, une onde bien réelle et définie dans l'espace en temps réel. Dans cette théorie, la variable cachée est la force de potentiel quantique^[8]. L'expérience des fentes d'Young a permis de vérifier certains aspects de cette thèse sur base de l'analyse de la diffraction^[9]. Néanmoins, si la plupart des théories explicitement non locales (signaux instantanés) semblent être en contradiction avec la relativité restreinte, il est intéressant de signaler que la relativité restreinte et la mécanique quantique sont compatibles. D'autres résultats comme le théorème de Kochen-Specker renforcent cette attitude.

Dans ce cadre d'approche, l'intrication qui établit la corrélation entre les particules intriquées peut être vue comme étant réalisée par une transmission d'information qui est qualifiée "d'instantanée", l'observation d'une des particules réduisant la fonction d'onde de la seconde particule de façon matricielle. Ceci est considéré comme interdit par la physique relativiste. Cependant, ce qui est déterminé comme un transfert d'information échappe à tout contrôle jusqu'à ce que les deux particules soient respectivement observées^[10]. Or, en pratique, il faut observer les deux particules successivement et comparer leurs états par un canal d'information relativiste parfaitement classique. Ce qui permet sur le papier, avec l'ajout de la notion de réduction de fonction d'onde de la mécanique quantique, de ne pas violer ce principe fondamental de la physique relativiste. Enfin, comme en témoigne la cryptographie quantique, l'état instantané de la première particule obtenue de façon aléatoire qui doit déterminer l'état de la seconde particule n'étant pas prévisible, l'information transmise de façon matricielle est ignorée avant l'observation des deux particules respectives, il n'y a ainsi aucun moyen de transférer des informations en se basant sur les propriétés de l'intrication.

Selon la mécanique quantique, il faut considérer les particules intriquées comme un seul objet devenu inséparable, étant donné que selon l'expérimentation la mécanique quantique est non locale. Notre intuition naturelle ne permettant pas d'appréhender la réalité de façon non locale, la corrélation entre les particules intriquées nous parait inacceptable. Cette vision séparatiste donnant l'impression d'un lien instantané est suggérée par l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, qui toutefois se défend de vouloir donner un modèle physique de la réalité, mais simplement des règles opérationnelles. Même si ce n'est pas la seule, c'est l'interprétation la plus répandue et la plus évidente en ce qu'elle est une image directe du comportement probabiliste des mesures expérimentales. Selon l'école de Copenhague, les tentatives de donner un sens aux résultats mathématiques des prévisions quantiques ne sont plus des problèmes de physique.

Quoi qu'il en soit, le problème de l'interprétation de la violation des inégalités de Bell, de l'intrication et de la mécanique quantique en général est un problème difficile et le débat reste ouvert.

Bibliographie

Travaux originaux

• J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, Physics 1 (1964), 195.

• J. S. Bell, On the problem of hidden variables in quantum mechanics, Review of Modern Physics 38 (1966), 447.

• J. S. Bell, Introduction to the hidden variable question, Proceedings of the International School of Physics Enrico Fermi, Course IL, Foundations of Quantum Mechanics (1971), 171-181.

• J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press (1987), ISBN

• M. Bell, K. Gottfried & M. Veltman ; John S Bell on the foundations of quantum mechanics, World Scientific (2001), (ISBN 981-02-4688-9).

Autres références

• Banesh Hoffmann, Michel Paty, L'étrange histoire des quanta, Éditions du seuil, 1981.

• Alain Aspect ; Quelques tests expérimentaux des fondements de la mécanique quantique (en optique), Qu'est-ce que l'Univers ?, Vol. 4 de l'Université de Tous les Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001), (ISBN 2-7381-0917-9), pp. 589. Dualité onde-corpuscule, intrication quantique & paradoxe EPR expliqués par un professeur d'optique à l'Université de Paris-Sud (Orsay), auteur en 1982 d'une expérience testant les inégalités de Bell.
• Alain Aspect ; Bell's Theorem : The naive view of an experimentalist, conférence en mémoire de John Bell (Vienne, décembre 2000). Publié dans : R. A. Bertlmann et A. Zeilinger (eds.) ; Quantum [un]speakables - From Bell to quantum information, Springer (2002). Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0402001.

• R. Jackiw, A. Shimony ; The depth and breadth of John Bell's physics, Phys.Perspect. 4 (2004) 78-116. Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/0105046.

• Asher Peres ; All the Bell inequalities, Foundations of Physics 29 (1999) 589-614. Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/9807017.

• H. M. Wiseman ; From Einstein's theorem to Bell's theorem: a history of quantum nonlocality, Contemporary Physics 47, 79-88 (2006) ; texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0509061 (Septembre 2005).

Voir aussi

Liens internes

• Paradoxe EPR
• Expérience d'Aspect
• Physique quantique

Liens externes

• Document : États intriqués, paradoxe EPR et inégalités de Bell (Ecole Polytechnique)

Notes

• Portail de la physique