- Inégalité Des Accroissements Finis Pour Les Fonctions À Valeurs Vectorielles
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Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles
La majoration des accroissements finis est une adaptation de l'inégalité des accroissements finis pour des fonctions à variable réelle et à valeurs vectorielles.
Énoncé : Soit E un espace vectoriel normé, et f une fonction définie sur un segment non vide de , [a,b], à valeurs dans E. g est une fonction réelle définie sur [a,b]. On suppose que f et g sont continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[ et que :
On peut alors dire que .
Ce théorème est d'autant plus surprenant qu'il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel, ou, ce qui revient au même, il n'y a pas d'égalité des accroissements finis, mais seulement une inégalité, comme en témoigne la fonction définie par . On a f(0) = f(2π), mais la dérivée ne s'annule nulle part entre 0 et 2π.
On en déduit par exemple qui si une fonction est dérivable et que sa dérivée est nulle, alors cette fonction est constante.
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Catégorie : Analyse réelle -
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