Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles

Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles

La majoration des accroissements finis est une adaptation de l’inégalité des accroissements finis pour des fonctions à variable réelle et à valeurs vectorielles.

Énoncé : Soient a < b deux réels, E un espace vectoriel normé et deux fonctions

f:[a,b]\to E\quad\text{et}\quad g:[a,b]\to\R

supposées continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[.

Si

\forall t\in]a,b[\quad\|f'(t)\|\le g'(t)

alors

\|f(b)-f(a)\|\le g(b)-g(a).

Ce théorème est d'autant plus surprenant qu’il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel, ou, ce qui revient au même, il n’y a pas d'égalité des accroissements finis, mais seulement une inégalité, comme en témoigne la fonction définie par f(t) = eit qui satisfait f(0) = f(2π) alors que sa dérivée ne s'annule pas sur [0,2π].

En particulier si, pour une certaine constante M (nécessairement positive ou nulle), on a

\forall t\in]a,b[\quad\|f'(t)\|\le M

alors

\|f(b)-f(a)\|\le M(b-a).

Il en découle qu’une fonction dérivable dont la dérivée est nulle ne peut être que constante.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Inegalite des accroissements finis pour les fonctions a valeurs vectorielles — Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles La majoration des accroissements finis est une adaptation de l inégalité des accroissements finis pour des fonctions à variable réelle et à valeurs vectorielles.… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité Des Accroissements Finis Pour Les Fonctions À Valeurs Vectorielles — La majoration des accroissements finis est une adaptation de l inégalité des accroissements finis pour des fonctions à variable réelle et à valeurs vectorielles. Énoncé : Soit E un espace vectoriel normé, et f une fonction définie sur un… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité des accroissements finis — Théorème des accroissements finis En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme… …   Wikipédia en Français

  • Inégalité des accroissement finis — Théorème des accroissements finis En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des accroissements finis — Il existe un point c où la pente de la tangente est la pente moyenne En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d une variable réelle, son accroissement entre …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des accroissements finis — Théorème des accroissements finis En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des accroissements finis généralisé — Théorème des accroissements finis En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme… …   Wikipédia en Français

  • Égalité des accroissements finis — Théorème des accroissements finis En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”