- Intégration par parties
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En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.
La formule-type est la suivante, où u et v sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :
ou encore, en remarquant que u'(x)dx et v'(x)dx sont respectivement les différentielles de u et de v :
Sommaire
Énoncé du théorème (dit d'intégration par parties)
Soit I = [a,b] un segment de
, u une fonction continue définie sur I et v une fonction de classe 
définie sur I. Soit U une primitive de u sur I. Alors :On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
Démonstration
La démonstration du théorème est très simple : en effet, elle découle directement de la règle du produit :
.On a donc
puis :Ce qui donne bien la propriété énoncée ci-dessus.
Cette démonstration peut également être faite à l'aide de la notation de Leibniz. Soit deux fonctions dérivables u et v. La règle de la dérivation d'un produit nous donne :
En multipliant par dx on obtient :
- d(uv) = udv + vdu
On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :
- udv = d(uv) − vdu
Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :
On obtient alors :
Grâce à la formule de Leibniz, on peut généraliser cette méthode aux fonctions de classe Ck + 1 :
Choix des variables
Le choix des fonctions u et v' est arbitraire, il requiert de la pratique et de l'intuition. Cependant, après l'exemple ci-dessous, quelques règles peuvent être posées pour gagner du temps.
Si on choisit u = ln(x), on a u' = 1 / x et v' = x donc v = x2 / 2, d'où :
En revanche, si on choisit u = x on a u' = 1 et v' = ln(x) donc v = xln(x) − x, d'où :
On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale.
Exemples
- Effectuons le calcul de
grâce à une intégration par parties. Pour cela, posons
- f(x) = x, de telle sorte que f ' (x) = 1, et
- g ' (x) = cos(x), de telle sorte que g(x) = sin(x), par exemple (i.e. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires).
Il vient :
- Effectuons le calcul de
Pour l'intégration par parties, posons u = x et dv = ex dx.
Nous avons donc du = dx et (par exemple) v = ex.
Utilisons la formule d'intégration par parties :
On en déduit qu'une primitive (sur R) de la fonction x
x ex est la fonction x (x - 1) ex.Liens externes
Catégorie :- Méthode d'intégration
![\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx](5/13532db9a62757abdf2c5d9f59f23fe1.png)
![\int_a^b u\,\mathrm dv= [uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du](3/6c36483890f6adfb8b4775f6019681b2.png)
![\int_a^b u(x) v(x)\,\mathrm dx = \Bigl[U(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b U(x) v'(x) \,\mathrm dx](8/b48a27c2a71f98cd3729a36d86f56963.png)
![\int_a^b f(x) g^{(k+1)}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{n=0}^{k}(-1)^{n} f^{(n)}(x) g^{(k-n)}(x) \right]_a^b + (-1)^{k+1} \int_a^b f^{(k+1)}(x) g(x) \,\mathrm dx](f/9af6f7a911b415b7c7ee8f35c8930347.png)
![\int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^2 - \frac12 \int_1^2x\,\mathrm dx](e/5be78b23489188eb7930828e4e7ed7ec.png)
![\int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[x(x\ln(x) - x)\right]_1^2 - \int_1^2(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx](d/d9dd4782f8c85cdd5bb8ba2cbfbfbda8.png)
![\begin{align}\int_0^{\frac\pi3}x\cos(x)\,\mathrm dx
&= \left[f(x)g(x)\right]_0^{\frac{\pi}3} - \int_0^{\frac{\pi}3}f'(x)g(x)\,\mathrm dx\\
&=\left[x\sin(x)\right]_0^{\frac\pi3} - \int_0^{\frac\pi3}\sin(x)\,\mathrm dx\\
&=\frac{\pi\sqrt3}6 + \left[\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}3}\\
&=\frac{\pi\sqrt3}6 - \frac12\ .\end{align}](a/98a3bce5c858da7ced1bcc5f73c49c94.png)
![\int_a^b xe^x \,\mathrm dx=\left[xe^x\right]_a^b-\int_a^b e^x\,\mathrm dx= \left[xe^x-e^x\right]_a^b\ .](9/129b881e8025d7ba4582673e8dcbbfd7.png)
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