Inertie de torsion

Moment quadratique

Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans le système international en m⁴, (mètre à la puissance 4).

Le moment quadratique est utilisé en résistance des matériaux, il est indispensable pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion ( $I G$ ) et en flexion ( $I x$ et $I y$ ). En effet, la résistance d'une section sollicitée selon un axe donné varie avec son moment quadratique selon cet axe.

Le moment quadratique est encore très souvent appelé moment d'inertie. Cependant, bien qu'il présente de claires similitudes, il ne rend compte que de la géométrie d'une section et non de sa masse.

Sommaire

1 Définition générale
- 1.1 Application de la définition
2 Formules pour les sections usuelles
3 Formule de transport
4 Exemple pour une section complexe
- 4.1 Poutre en I
- 4.2 Application aux composites, sandwich
5 Voir aussi
- 5.1 Articles connexes

Définition générale

Schéma

Moment quadratique de la section $S$ par rapport à l’axe $O\vec x$ : $I_x = \int_{S}y^2\, \mathrm ds = \iint_{S}y^2\, \mathrm dx\mathrm dy$
Moment quadratique de la section $S$ par rapport à l’axe $O\vec y$ : $I_y= \int_{S}x^2\, \mathrm ds = \iint_{S}x^2\, \mathrm dx\mathrm dy$
Moment quadratique (polaire) de $S$ par rapport au point $O$ : $I_O= \int_{S}r^2\, \mathrm ds = \iint_{S}r^2\, \mathrm dx\mathrm dy$

Remarques: On a $I O = I x + I y$ puisque $r 2 = x 2 + y 2$ (Théorème de Pythagore).; Il découle de ces définitions que plus les éléments de la section sont situés loin de l'axe, plus le moment quadratique sera important.

Application de la définition

Section carrée

Pour une section carrée de coté $a$ centrée en $O$ :

Moment quadratique par rapport à $O\vec x$ : $I_x= \iint_{S}y^2\, \mathrm dx\mathrm dy = \int_{-\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} \mathrm dx \times \int_{-\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} y^2 \;\mathrm dy$
$= \left[\frac {a}{2}-\left ( - \frac{a}{2} \right ) \right] \cdot \frac {1}{3} \cdot \left[ \left(\frac {a}{2}\right) ^3 - \left ( - \frac{a}{2} \right ) ^3 \right] = \frac {1}{3} \cdot a \cdot \left ( \frac {a^3}{8} + \frac {a^3}{8} \right )$
$= \frac {a^4}{12}$
Moment quadratique par rapport à $O\vec y$ : De même, à cause de la symétrie de cette section, on a : $I_y= \frac {a^4}{12}$
Moment quadratique par rapport au point $O$ : En utilisant le fait que $I O = I x + I y$ on a : $I_O= \frac {a^4}{6}$

Formules pour les sections usuelles

Section rectangulaire

$I_x= \frac {b \cdot h^3}{12}$

$I_y= \frac {h \cdot b^3}{12}$

$I_G= \frac {b \cdot h}{12} \cdot (b^2+h^2)$

Section circulaire

$I_x= \frac {\pi \cdot D^4}{64}$

$I_y= \frac {\pi \cdot D^4}{64}$

$I_G= \frac {\pi \cdot D^4}{32}$

Section annulaire

Il s'agit simplement de soustraire le moment quadratique du disque intérieur à celui du disque extérieur.

$I_x= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{64}$

$I_y= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{64}$

$I_G= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{32}$

Formule de transport

Le moment quadratique d'une section $S$ dont le barycentre passe par un axe $Δ$ parallèle à un axe de référence $Δ'$ à une distance $d$ vaut, d'après le théorème de transport de Huygens :

$I_{\Delta'} = I_\Delta + S \cdot d^2$ .

Ceci exprime que le moment quadratique est égal à la somme du « moment propre » $I Δ$ et du « moment de translation » $S . d 2$ .

Exemple pour une section complexe

âme d’une poutrelle

Poutre en I

On décompose la poutre en 3 parties, les deux semelles et l'âme. On fait la somme des moments quadratiques de chaque section. Si on choisit l'axe neutre comme axe de rotation, on doit utiliser le théorème des axes parallèles (transport) pour le moment quadratique des semelles :

$I_\text{x} = I_1 + 2I_2 = \frac{eh^3}{12} + 2\left(\frac{l'e'^3}{12}+\frac{l'e'(h+e')^2}4\right)$

avec $e$ et $h$ l'épaisseur et la hauteur de l'âme (comprise entre les semelles contrairement à l'indication du dessin) et $l'$ et $e'$ la largeur et l'épaisseur d'une semelle.

Il est possible également considérer une section rectangulaire de largeur l' et de hauteur h à laquelle il faut soustraire l'inertie de la portion considérée en trop, soit une autre section rectangulaire de largeur l'-e et de hauteur h-2e'. La formule devient alors:

$I_\text{x} = I_1 - I_2 = \frac{b_1h_1^3}{12} - \frac{b_2h_2^3}{12} = \frac{l'h^3}{12} - \frac{(l'-e)(h-2e')^3}{12}$

Les semelles sont les parties qui subissent la plus grande déformation. Ces parties sont donc plus larges, afin d'offrir une meilleure résistance a la déformation, tout en réduisant l'âme afin de gagner du poids. L'âme sert à écarter les semelles afin d'augmenter leur moment quadratique. Ainsi, à aire équivalente, le moment quadratique d'une section en I est environ 7,6 fois plus grand que celui d'une section carrée.

Ces poutres sont donc largement utilisées en génie civil et en mécanique car elles permettent des économies de matière.

Nota : Pour un résultat plus précis, il faut soustraire les deux épaisseurs des semelles de la hauteur de l'âme. Soit remplacer h par h-2h'

Application aux composites, sandwich

En utilisant pour ces parties un matériau plus résistant aux contraintes (cf Déformation élastique) ou ayant un Module de Young plus élevé, on peut donc considérablement augmenter ses caractéristiques mécaniques. Pour l'âme, on peut alors utiliser un matériau de résistance moindre mais plus léger, celui étant soumis a de moins grandes déformations.
Ce principe est utilisé abondamment dans la fabrication de bateaux en matériaux composites: l'âme est faite en mousse ou dans un matériau de faible densité (par exemple un polymère ou du balsa) et les semelles sont en fibres (verre, carbone...). Ce type de fabrication est appelé sandwich dans le milieu nautique, à cause de cette structure en 3 feuilles superposées.

Voir aussi

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