Propriétés métriques des droites et plans

En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0).

La droite dans le plan euclidien

Vecteur normal à une droite

Soit $M (x, y)$ un point de la droite D dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

$(1) \qquad ux + vy + h = 0\,$

et $M 0 (x 0, y 0)$ un point spécifique de D, On a :

$(2) \qquad ux_0 + vy_0 + h = 0\,$

En retranchant (2) à (1) on obtient :

$u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0\,$

En notant $\scriptstyle \overrightarrow{N}\,$ , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

$\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0\,$

La droite d'équation $u x + v y + h = 0$ est donc orthogonale au vecteur $\scriptstyle \overrightarrow{N}\,$ . Le vecteur $\scriptstyle \overrightarrow{N}\,$ est appelé un vecteur normal à la droite D.

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné

Soit un point $M (x, y)$ et un vecteur $\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v)$ non nul. Le point M appartient à la droite D, passant par $M 0 (x 0, y 0)$ et orthogonale à $\scriptstyle \overrightarrow{N}$ , si et seulement si :

$\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0$

La droite D, passant par $M 0 (x 0, y 0)$ et orthogonale à $\scriptstyle \overrightarrow{N}$ , a donc pour équation :

$u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0\,$

Distance algébrique d'un point $M (x, y)$ à une droite d'équation $u x + v y + h = 0$

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Soit H la projecté de $M (x, y)$ sur D avec $\overrightarrow{HM}$ orthogonal à D.

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v)$ , on montre que la distance algébrique entre M et D est donnée par :

$d_a(H,M) = \frac{ux+vy+h}\sqrt{u^2 + v^2}$

En valeur absolue :

$\|\overrightarrow{HM}\| = \frac{|ux+vy+h|}\sqrt{u^2 + v^2}$

Droite et pente

Pour v non nul, la droite D d'équation $u x + v y + h = 0$ possède une équation sous la forme $m x + b = y$ avec

$m= -\frac{u}{v}\,$

$b= -\frac{h}{v}\,$

La pente d'une droite est le réel

$m = \tan(\alpha)\,$

L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite D.

Équation normale d'une droite

Dans le repère $\scriptstyle (O, \vec i, \vec j)$ ,notons $\scriptstyle \overrightarrow{N}(cos\varphi,sin\varphi)$ un vecteur unitaire normal à la droite D, orienté de O vers D, la valeur $\varphi$ représente alors l'angle $\scriptstyle (\vec i, \overrightarrow N)$ . On note d'autre part $p$ la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

x cos φ + y sin φ - p = 0

Angles de deux droites

Soit D et D' deux droites d'équations

$(D): ux+vy+h = 0\,$

$(D'): u'x+v'y+h' = 0\,$

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

$\tan(D,D')= \tan(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N'}) = \frac{uv'-u'v}{uu'+vv'}$

Intersection de deux droites

Soit les droites :

$D 1,$ d'équation cartésienne :

(1) : $u_1x+v_1y+h_1 = 0\,$

$D 2,$ d'équation cartésienne :

(2) : $u_2x+v_2y+h_2 = 0\,$

si $\frac{u_2}{u_1}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{h_2}{h_1}$ : Les droites sont confondues,

si $\frac{u_2}{u_1}=\frac{v_2}{v_1} \neq \frac{h_2}{h_1}$ : Les droites sont strictement parallèles, et

si $\frac{u_2}{u_1} \neq \frac{v_2}{v_1}$ : Les droites sont sécantes et les coordonnées du point d'intersection sont une solution du système formé par (1) et (2).

Faisceau défini par deux droites $D 1,$ $D 2$

C'est l'ensemble des droites d'équation :

α D 1 + β D 2 = 0

En posant $\lambda = \frac{\beta}{\alpha}$ ;

D 1 + λ D 2 = 0

Si $D 1$ et $D 2$ se coupent en $A$ , le faisceau $D 1 + λ D 2 = 0$ est l'ensemble des droites passant par $A$ .

Si $D 1, D 2$ sont strictement parallèles, le faisceau $D 1 + λ D 2 = 0$ est l'ensemble des droites strictement parallèles à $D 1$ .

La droite dans l'espace euclidien

Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace

Article détaillé : Distance d'un point à une droite.

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans

$P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,$

$P_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0\,$

le plan $Q\,$ perpendiculaire à $P_1\,$ appartient au faisceau de plans $P_1 + \lambda P_2= 0\,$

$Q\,$ sera perpendiculaire à $P_1\,$ pour $\lambda = \frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}\,$

Soit $H_1, H_Q, H \,$ les projections orthogonales du point $M\,$ respectivement sur $P_1, Q, D\,$ , on en déduit $MH^2 = MH_1^2 + MH_Q^2\,$

On calculera $MH_1\,$ et $MH_Q\,$ comme détaillé ci-dessous au chapitre Distance algébrique d'un point à un plan.

Cas où la droite est définie par un point $M 0$ et un vecteur $\overrightarrow{V}$ non nul

La distance $M H$ est donnée par

$MH = \frac{\|\overrightarrow{MM_0}\wedge \vec V\|} {\|\vec V\|}$

Droites orthogonales à un plan

Le plan étant défini par l'équation $u x + v y + w z + h = 0$ , les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur $\overrightarrow{N}(u,v,w)$ . Une droite D passant par le point $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et perpendiculaire à $[P]: u x + v y + w z + h = 0$ a pour équations :

$\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}$

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des des réels est nul , par exemple u= 0, le système devient :

$x=x_0 \qquad \frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}$

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

$x=x_0 \qquad y=y_0$

Distance entre deux droites quelconque de l'espace

Soient la droite $(D 0)$ passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et de direction le vecteur $\vec V_0(a_0,b_0,c_0)$ et $(D 1)$ la droite passant par $M 1 (x 1, y 1, z 1)$ et de direction $\vec V_1(a_1,b_1,c_1)$

Si les vecteurs $\vec V_0$ et $\vec V_1$ sont indépendants, le volume du solide construit sur $\vec {M_0M_1},\vec V_0, \vec V_1$ est égal à $| k |$ . Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

$k = (\vec {M_0M_1},\vec V_0, \vec V_1)$

L'aire de la base du solide est donnée par

$\|\vec W\|$ tel que $\vec{W} = \vec{V_0} \wedge \vec{V_1}$

La distance entre les deux droites est alors égale à $d= \frac{|k|}{\|\vec{W}\|}$

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M₁ de la droite D₀.

Le plan dans l'espace euclidien

Vecteur orthogonal à un plan

Soit $M (x, y, z)$ un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

$(1bis) \qquad ux+vy+wz+h=0$

Pour $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ un point spécifique de P on obtient :

$(2bis) \qquad ux_0+vy_0+wz_0+h = 0$

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

$u(x-x_0)+v(y-y_0)+w(z-z_0) = 0\,$

En notant $\overrightarrow{N}$ , le vecteur de coordonnées (u,, v , w), on exprime (1bis) comme suit :

$\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0$

Le plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$ est donc orthogonal au vecteur $\overrightarrow{N}(u,v,w)$ et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné

Soit un point $M(x,y,z)\,$ et un vecteur $\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v,w)\,$ non nul. Le point M appartient au plan P, passant par $M_0(x_0,y_0, y_0)\,$ et orthogonal à $\scriptstyle \overrightarrow{N}\,$ , si et seulement si :

$\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0\,$

Le plan P, passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et orthogonal à $\scriptstyle \overrightarrow{N}\,$ , a donc pour équation : :

$u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0\,$

Distance algébrique d'un point $M (x, y, z)$ à un plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$

Article détaillé : Distance d'un point à un plan.

Soit H la projeté de $M (x, y, z)$ sur P avec $\overrightarrow{HM}$ orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v,w)$ , on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :

$d_a(H,M) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}$

En valeur absolue :

$\|\overrightarrow{HM}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}$

Angles de deux plans

Soient (P) et (P') deux plans d'équation

$(P) : ux+vy+wz+h = 0\,$ $(P') : u'x+v'y+w'z+h' = 0\,$

L'angle géométrique $(P, P')$ est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux $(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N'})$

$\cos(P,P') = |\cos(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N'})|=\frac{|uu'+vv'+ww'|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\sqrt{u'^2+v'^2+w'^2}}$

Cas particulier : Angle de plus grande pente

L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire d'une bille circulant librement sur un plan et le plan horizontal.

Étant donné l'équation d'un plan horizontal :

$(P') : u'x+v'y+h' = 0\,$

L'angle de plus grande pente est donné par :

$\cos(P,P') = |\cos(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N'})|=\frac{|uu'+vv'|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\sqrt{u'^2+v'^2}}$

Plans perpendiculaires

Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux $\overrightarrow{N}$ et $\overrightarrow{N'}\,$ sont orthogonaux. Ce qui implique

$uu'+vv'+ww' = 0\,$

Intersection de deux plans

Soit les plans :

$P 1,$ d'équation cartésienne :

(1bis) : $u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,$

$P 2,$ d'équation cartésienne :

(2bis) : $u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0\,$

si $\frac{u_2}{u_1}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{w_2}{w_1}=\frac{h_2}{h_1}$ : Les plans sont confondus,

si $\frac{u_2}{u_1}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{w_2}{w_1} \neq \frac{h_2}{h_1}$ : Les plans sont strictement parallèles.

En dehors des cas précédents, les deux plans sont sécants. Leur droite commune a pour équation les équations des deux plans.

Faisceau de plans

Le faisceau de plans défini par les plans $P 1$ et $P 2$ est l'ensemble des plans solution de l'équation :

α P 1 + β P 2 = 0

En posant $\lambda = \frac{\beta}{\alpha}$ ;

P 1 + λ P 2 = 0

(avec la condition

P 2 = 0

alors

λ

correspond à l'infini).

Si $P 1$ et $P 2$ se coupent en une droite $D$ , le faisceau $P 1 + λ P 2 = 0$ est l'ensemble des plans passant par $D$ .

Si $P 1, P 2$ sont strictement parallèles, le faisceau $P 1 + λ P 2 = 0$ est l'ensemble des plans strictement parallèles à $P 1$ .

Condition pour que trois plans aient une droite commune ou soient parallèles :

Soit les plans d'équation :

$P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,$

$P_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0\,$

$P_3 = u_3x+v_3y+w_3z+h_3 = 0\,$

S'il existe : $α,β,γ$ non tous nuls tels que :

α P 1 + β P 2 + γ P 3 = 0

pour tout x, y et z

Cette relation exprime que $P 1, P 2$ sont les plans de base du faisceau contenant $P 3$

Équation de plan et déterminant

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Soient un point $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et deux vecteurs $\vec V_1$ et $\vec V_2$ non colinéaires. Un point M (x, y, z) appartient au plan P passant par $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ et de directions $\vec V_1$ et $\vec V_2$ si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que $\overrightarrow{MM_0} = \lambda \vec V_1 + \mu \vec V_2$ . Cette égalité exprime que $\overrightarrow{MM_0},\vec V_1,\vec V_2$ sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

$\det(\overrightarrow{MM_0},\vec V_1(a_1,b_1,c_1),\vec V_2(a_2,b_2,c_2))=0$

Son équation est :

$\begin{vmatrix} x-x_0 & a_1 &a_2\\ y-y_0 & b_1 &b_2\\ z-z_0 & c_1 &c_2 \end{vmatrix} = (b_1c_2 - c_1b_2)(x-x_0) + (c_1a_2 - a_1c_2)(y-y_0) + (a_1b_2 - b_1a_2)(z-z_0) = 0$

que l'on peut écrire sous la forme $u x + v y + w z + h = 0$

Plan défini par deux points et un vecteur

Soient deux points $M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2)$ et un vecteur $\vec V_1(a,b,c)$ non colinéaire à $\overrightarrow{M_1M_2}$ .

Le point M appartient au plan passant par $M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2)$ et de direction $\vec V_1(a,b,c)$ si et seulement si les trois vecteurs : $\overrightarrow{M_1M},\overrightarrow{M_2M_1},\vec V$ sont coplanaires, donc :

$\det(\overrightarrow{M_1M},\overrightarrow{M_2M_1},\vec V)=0$

Son équation est :

$\begin{vmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 & a\\ y-y_1 & y_2-y_1 & b\\ z-z_1 & z_2-z_1 & c \end{vmatrix} = 0$

Plan défini par trois points non alignés

Soient $M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3)$ , trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est :

$\begin{vmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_2\\ y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_2\\ z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_2 \end{vmatrix} = 0$

Conditions pour que trois droites distinctes soient concourantes ou parallèles

Les droites d'équations :

$D_1 = u_1x+v_1y+h_1 = 0\,$ ,

$D_2 = u_2x+v_2y+h_2 = 0\,$ , et

$D_3 = u_3x+v_3y+h_3 = 0\,$

sont concourantes ou parallèles si :

$\begin{vmatrix} u_1 & v_1 &h_1\\ u_2 & v_2 &h_2\\ u_3 & v_3 &h_3 \end{vmatrix} = 0$

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Propriétés métriques des droites et plans

Sommaire

La droite dans le plan euclidien

Vecteur normal à une droite

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné

Distance algébrique d'un point $M (x, y)$ à une droite d'équation $u x + v y + h = 0$

Droite et pente

Équation normale d'une droite

Angles de deux droites

Intersection de deux droites

Faisceau défini par deux droites $D 1,$ $D 2$

La droite dans l'espace euclidien

Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans

Cas où la droite est définie par un point $M 0$ et un vecteur $\overrightarrow{V}$ non nul

Droites orthogonales à un plan

Distance entre deux droites quelconque de l'espace

Le plan dans l'espace euclidien

Vecteur orthogonal à un plan

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné

Distance algébrique d'un point $M (x, y, z)$ à un plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$

Angles de deux plans

Cas particulier : Angle de plus grande pente

Plans perpendiculaires

Intersection de deux plans

Faisceau de plans

Équation de plan et déterminant

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Plan défini par deux points et un vecteur

Plan défini par trois points non alignés

Conditions pour que trois droites distinctes soient concourantes ou parallèles

Annexes

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Propriétés métriques des droites et plans

Sommaire

La droite dans le plan euclidien

Vecteur normal à une droite

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné

Distance algébrique d'un point M(x,y) à une droite d'équation ux + vy + h = 0

Droite et pente

Équation normale d'une droite

Angles de deux droites

Intersection de deux droites

Faisceau défini par deux droites D1, D2

La droite dans l'espace euclidien

Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans

Cas où la droite est définie par un point M0 et un vecteur non nul

Droites orthogonales à un plan

Distance entre deux droites quelconque de l'espace

Le plan dans l'espace euclidien

Vecteur orthogonal à un plan

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné

Distance algébrique d'un point M(x,y,z) à un plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0

Angles de deux plans

Cas particulier : Angle de plus grande pente

Plans perpendiculaires

Intersection de deux plans

Faisceau de plans

Équation de plan et déterminant

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Plan défini par deux points et un vecteur

Plan défini par trois points non alignés

Conditions pour que trois droites distinctes soient concourantes ou parallèles

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Faisceau défini par deux droites $D 1,$ $D 2$

Cas où la droite est définie par un point $M 0$ et un vecteur $\overrightarrow{V}$ non nul

Distance algébrique d'un point $M (x, y, z)$ à un plan P d'équation $u x + v y + w z + h = 0$