- Groupe de Fischer
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En mathématiques, les groupes de Fischer sont les trois groupes sporadiques Fi22, Fi23 et Fi24'. Quelquefois, le terme désigne les groupes d'automorphismes de ces groupes.
Sommaire
Les groupes 3-transposition
Les groupes de Fischer sont des groupes finis nommés en l'honneur du mathématicien Bernd Fischer, qui les découvrit en étudiant les groupes 3-transposition. Ceux-ci sont des groupes G avec les propriétés suivantes :
- G est engendré par une classe de conjugaison d'éléments d'ordre 2, appelés les 'transpositions de Fischer'.
- Le produit de deux transpositions quelconques est d'ordre 1, 2 ou 3.
L'exemple typique d'un groupe 3-transposition est un groupe symétrique, où les transpositions de Fischer sont véritablement des transpositions. Fischer pouvait classer les groupes 3-transposition qui satisfaisaient certaines conditions techniques supplémentaires. Les groupes qu'il trouva tombèrent dans plusieurs classes infinies (aussi bien que les groupes symétriques, certaines classes des groupes symplectiques et orthogonaux remplissaient ses conditions) avec une exception pour les trois groupes de Fischer. Ces groupes sont habituellement identifiés avec la notation
, 
et 
. Les deux premiers sont des groupes simples, et le troisième contient le groupe simple Fi24' d'indice 2.Ordres
L'ordre d'un groupe est le nombre d'éléments dans le groupe.
est d'ordre 217.39.52.7.11.13 = 64 561 751 654 400. est d'ordre 218.313.52.7.11.13.17.23 = 4 089 470 473 293 004 800.
est d'ordre 221.316.52.73.11.13.17.23.29 = 1 255 205 709 190 661 721 292 800. C'est le troisième plus grand groupe sporadique (après le groupe Monstre et le groupe Bébé Monstre).Notation
Il n'existe malheureusement pas de notations uniformément acceptées pour ces groupes. Certains auteurs utilisent F à la place de Fi (e.g.
). La notation de Fischer pour eux était M(22), M(23) et M(24)', qui soulignait leur rapport étroit avec les trois plus grands groupes de Mathieu, 
, 
et 
.Une source particulière de confusion réside dans le fait que
est quelquefois utilisé pour faire référence au groupe simple , et est quelquefois utilisé pour faire référence au groupe 3-transposition entier (qui fait deux fois sa taille).Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fischer group » (voir la liste des auteurs)
- (en) Robert Arnott Wilson (en), Sporadic groups, dans ATLAS of Finite Group representations
- (en) Michael Aschbacher (en), 3-transposition groups, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics », 1997 (ISBN 978-0-521-57196-8) [lire en ligne] : contient la première démonstration complète publiée du théorème de Fischer.
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