Grassmannienne

En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note $G (k, n)$ ou $G_{k,n}(\mathbb K)$ la grassmanienne des sous-espaces de dimension $k$ dans un espace de dimension $n$ sur le corps $\mathbb K$ . Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmannienne des $k$ -plans.

Sommaire

1 Généralités
2 Grassmannienne comme espace linéaire partiel
3 Plongement de Plüker
4 Recouvrement par des cartes affines
5 Interprétation comme variété algébrique
6 Grassmanniennes réelles, complexes et quaternioniennes
7 Grassmanniennes euclidiennes
8 Grassmanniennes et formes bilinéaires symétriques et alternées, hermitiennes et antihermitiennes
- 8.1 Grassmanniennes des sous-espaces vectoriels non dégénérés
- 8.2 Grassmanniennes isotropes
9 Sources

Généralités

Exemples

Pour $k = 1$ , la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
Pour $k = n - 1$ , la grassmannienne correspond a l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, vu que chaque point correspond à un hyperplan.

Pour $k = 2$ et $n = 4$ , on obtient la plus simple des Grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.

Grassmannienne comme espace homogène

Grassmannienne comme quotient

Pour le voir on note $G L p, n$ l'ensemble des matrices de taille $p, n$ et de rang $p$ ;

$S L p, n$ l'ensemble des matrices de taille $p, n$ et de rang p ; dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.

On remarque que $G p, n$ est isomorphe à l'espace quotient $G L p, n / G L p$ pour la relation d'équivalence :

$X\equiv Y$ si et seulement si $\exists M \in GL_{p}$ telle que $Y = M X$ .

Si on note $U p$ l'ensemble des matrices unitaire, $G p, n$ est isomorphe à l'espace quotient $S L p, n / U p$ pour la relation d'équivalence

$X\equiv Y$ si et seulement si $\exists M \in U_{p}$ telle que $Y = M X$ .

On voit que les topologies induites par ces représentations sont identiques via la représentation de Choleski^[1].

Grassmannienne comme espace linéaire partiel

Structure d'espace linéaire partiel

Grassmannienne des plan vectoriel en dimension 4

Théorème de Chow

Plongement de Plüker

Un autre façon de réaliser la grasmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes. Ce plongement de $G_{p,n}(\R)$ dans l'espace projectif $\mathbb P (\Lambda^p(\R^n))$ des produits extérieurs de degré $k$ dans l'espace $\R^n$ prolonge les travaux de Julius Plücker pour le cas des plans de $\R^4$

Recouvrement par des cartes affines

On introduit la base canonique $(e_i)_{i\in [[1,n]]}$ de $E=\R^n$ et on note S une $n - k$ -partie de { $1... n$ }, $E 1 = E S$ le sous espace engendré par les vecteurs $(e_i)_{i\in S}$ .

On note $V S = G p, n, S$ l'ensemble des sous espaces vectoriels de dimension $k$ ne rencontrant pas $E 1 = E S$ (à l'exception du vecteur nul).

Première étape

Soit $V$ un sous espace de $V S$ .

En projetant $V$ sur $E_2=E_{S^c}$ et $E 1 = E S$ , on voit que tout vecteur $x\in V$ s'écrit $x = u + v = p (x) + q (x)$ avec $u\in E_1$ et $v\in E_2$ , comme $V$ et $E 1$ ont même dimension, il existe d'autre part $\phi\in L(E_1,V)$ telle que $x = ϕ(u)$ . On a alors $x = u + q o ϕ(u)$ avec $\psi=qo\phi\in L(E_1,E_2)$ .

Seconde étape

L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective un sous-espace de $V S$ à une application linéaire $\psi\in L(E_1,E_2)$ . Ou encore, en prenant la matrice de $ψ S (V)$ de $psi\in L(E_1,E_2)$ , une bijection entre $V S$ et $M n - k, k$ , l'ensemble des matrices réelles de taille $n - k, k$ .

On obtient ainsi, via la bijection, $\psi_S:G_{p,n,S}\mapsto M_{n-p,p}$ , une description affine de $G p, n, S$ , des sous espaces de dimension pne rencontrant pas $E S$ . C'est-à-dire d'une partie 'ouverte' (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la Grassmanienne $G p, n$ .

troisième étape

On montre que pour deux parties différentes $S$ et $T$ , les changements de cartes $ψ T o (ψ S) - 1$ induits par les descriptions de $G p, n, S$ et $G p, n, T$ est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre $\psi_S(G_{p,n,S}\cap G_{p,n,T} )$ et $\psi_T(G_{p,n,S}\cap G_{p,n,T})$ .

Interprétation comme variété algébrique

On en déduit par recollement que cette Grassmannienne est une variété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que $G_{p,n}(\R)$ est une variété non singulière, affine, fermée et bornée ;

$G_{p,n}(\R)$ et $G(n-p,n)(\R)$ étant birégulièrement isomorphe^[2].

Grassmanniennes réelles, complexes et quaternioniennes

Grassmanniennes orientées

Structure différentielle et analytique

Topologie des grassmanniennes et des grassmanniennes orientées

Grassmanniennes euclidiennes

Grassmannienne et groupe unitaire

Quotient de la variété de Stiefel des p-repères orthonormaux

Grassmanniennes comme variétés riemanniennes

Grassmanniennes et projecteurs orthogonaux

Soit $G_{p,n}(\R)$ la grassmannienne des sous-espaces de dimension $p$ de $\R^n$ . Soit $M_n(\R)$ l'espace des matrices carrées de taille $n$ à coefficients réels. Considérons l'ensemble des matrices $A_{n,p}\in M_n(\R)$ définies par $A \in A_{n,p}$ si et seulement si les trois conditions sont remplies :

$A 2 = A$ (i.e. elle est un opérateur de projection)

$t A = A$ (elle est symétrique)

$T r (A) = p$ (sa trace est $p$ )

C'est-à-dire les matrices de projecteurs orthogonaux de rang $p$ .

On obtient par ce biais une représentation de $G_{p,n}(\R)$ comme un sous ensemble affine des matrices carrées de taille $n$ à coefficients réels.

Grassmanniennes duales

Grassmanniennes et formes bilinéaires symétriques et alternées, hermitiennes et antihermitiennes

Grassmanniennes des sous-espaces vectoriels non dégénérés

Grassmanniennes isotropes

Sources

références

↑ Jean-Pierre Dedieu : Points fixes, zéros et la méthode de Newton
↑ Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Françoise Roy :Géométrie algébrique réelle

bibliographie

Laurent Lafforgue : Chirurgie des grassmanniennes

Les coordonnées de Plücker revisitées par : Lilian Aveneau de l'Université de Poitiers

Des planches de Jussieur sur le plongement de Plucker : ici ou là

Jacek Bochnak, Michel Coste,Marie-Françoise Roy : Géométrie algébrique réelle

Jean-Pierre Dedieu : Points fixes, zéros et la méthode de Newton

Michèle Audin : Géométrie

Catégories :

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Grassmannienne de Wikipédia en français (auteurs)

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