- Graphe distance-unité
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Le graphe de Petersen est un graphe distance-unité : il peut être tracé sur le plan avec des arêtes toutes de longueur 1.
L'hypercube Q4 est un graphe distance-unité.En mathématiques, plus particulièrement en théorie des graphes, un graphe distance-unité est un graphe s'obtenant à partir d'une collection de point du plan euclidien en reliant par une arête toutes les paires de points étant à une distance de 1. Les arêtes peuvent se croiser si bien qu'un graphe distance-unité n'est pas nécessairement un graphe planaire. S'il n'y a pas de croisement entre les arêtes, alors le graphe est qualifié de graphe allumette.
Le problème de Hadwiger–Nelson, introduit en 1944 par Hugo Hadwiger et Edward Nelson, concerne le nombre minimal de couleur qu'il faut pour colorier le plan de façons à ce que deux points à une distance de 1 ne soient jamais de la même couleur[1]. Il peut être formalisé en théorie des graphes de la façon suivante : quel est le nombre chromatique maximal d'un graphe distance-unité ? Le problème est toujours ouvert mais le graphe de Golomb, avec son nombre chromatique égal à 4, fournit une borne inférieure, la meilleure connue à ce jour[2]. Un autre exemple connu, plus petit mais avec le même nombre chromatique, est le graphe de Moser[3].
Exemples
- Tous les graphe cycle ;
- N'importe quel hypercube, donc le graphe hexaédrique et le graphe tesseract ;
- Le graphe de Petersen ainsi que celui de Moser, de Harborth et de Golomb ;
- Le graphe roue W7 (c'est le seul graphe roue à être distance-unité) ;
- Le graphe papillon, le graphe longhorn, le graphe diamant, le graphe taureau, le graphe griffe, le graphe criquet, le graphe poisson, le graphe fléchette, le graphe fourche, le graphe cerf-volant, le graphe croix et le graphe mite.
Dénombrement
Paul Erdős posa le problème suivant en 1946 : étant donnés n points, comment estimer le nombre maximal de paires de points pouvant être à une distance de 1 sur le plan euclidien[4] ? En d'autres termes quel est la densité maximal d'un graphe distance-unité d'ordre n ?
L'hypercube fournit une borne inférieure sur le nombre de paires de points proportionnelle à nlogn.
Références
- O'Rourke, Joseph, « Problem 57: Chromatic Number of the Plane » sur The Open Problems Project.
- Soifer, A. The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of Its Creators New York: Springer, pp. 19-20, 2008.
- Moser, L. and Moser, W. "Problem 10." Canad. Math. Bull. 4, 187-189, 1961.
- [[Paul Erdős|Erdős, Paul]], « On sets of distances of n points », dans American Mathematical Monthly, vol. 53, 1946, p. 248–250 [lien DOI]
Catégorie :- Famille de graphes
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