- Graphe de Harborth
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Graphe de Harborth 
Nombre de sommets 52 Nombre d'arêtes 104 Distribution des degrés 4-régulier Rayon 6 Diamètre 9 Maille 3 Automorphismes 4 (Z/2Z×Z/2Z) Nombre chromatique 3 Indice chromatique 4 Propriétés Distance-unité
Planaire
Eulérienmodifier 
Le graphe de Harborth est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 52 sommets et 104 arêtes. C'est un graphe allumette donc c'est à la fois un graphe distance-unité et un graphe planaire. Il s'agit du plus petit graphe allumette 4-régulier connu et il fut découvert par Heiko Harborth en 1986[1]. Si sa minimalité n'est toujours pas prouvée, on sait en revanche qu'il n'existe pas de graphe allumette 5-régulier[2].
Sommaire
Propriétés
Propriétés générales
Le diamètre du graphe de Harborth, l'excentricité maximale de ses sommets, est 9, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 4 arêtes.
En 2006, Eberhard H.-A. Gerbracht démontra que c'était un graphe rigide[3].
Coloriage
Le nombre chromatique du graphe de Harborth est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.
L'indice chromatique du graphe de Harborth est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Propriétés algébriques
Le groupe d'automorphismes du 42-graphe de Harborth est un groupe abélien d'ordre 4 isomorphe à Z/2Z×Z/2Z, le groupe de Klein.
Le polynôme caractéristique du graphe de Harborth est :
- (x − 4)(x + 2)6(x11 − 4x10 − 14x9 + 50x8 + 89x7 − 196x6 − 293x5 + 214x4 + 351x3 + 10x2 − 69x − 14)
- (x11 − 2x10 − 18x9 + 26x8 + 111x7 − 94x6 − 267x5 + 72x4 + 213x3 − 47x − 4)
- (x11 − 18x9 − 14x8 + 99x7 + 136x6 − 135x5 − 290x4 − 27x3 + 166x2 + 93x + 14)
- (x12 − 2x11 − 22x10 + 26x9 + 181x8 − 74x7 − 641x6 − 120x5 + 863x4 + 532x3 − 153x2 − 152x − 16)
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, Harborth Graph (MathWorld)
Références
- Harborth, H. "Match Sticks in the Plane." In The Lighter Side of Mathematics. Proceedings of the Eugéne Strens Memorial Conference of Recreational Mathematics & its History. Calgary, Canada, July 27-August 2, 1986 (Eds. R. K. Guy and R. E. Woodrow). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 281-288, 1994.
- Peterson, I. "Mathland: Matchsticks in the Summer." August 1996. http://www.maa.org/mathland/mathland_8_12.html
- Gerbracht, E. H.-A. "Minimal Polynomials for the Coordinates of the Harborth Graph." Oct. 5, 2006. http://arxiv.org/abs/math.CO/0609360.
Catégorie :- Graphe remarquable
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