Graphe fléchette

Graphe fléchette
Représentation du graphe fléchette.
Nombre de sommets	5
Nombre d'arêtes	6
Distribution des degrés	1 (1 sommet) 2 (2 sommets) 3 (1 sommet) 4 (1 sommet)
Rayon	1
Diamètre	2
Maille	3
Automorphismes	2 (Z/2Z)
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	4
Propriétés	Parfait Planaire Distance-unité
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Le graphe fléchette est, en théorie des graphes, un graphe possédant 5 sommets et 6 arêtes.

Le nom de graphe fléchette est employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Class Inclusions)^[1].

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe fléchette, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 1 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 1-sommet-connexe et d'un graphe 1-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il suffit de le priver d'un sommet ou d'une arête.

Il est possible de tracer le graphe fléchette sur un plan sans qu'aucune de ses arêtes se croisent. Le graphe fléchette est donc planaire. C'est également un graphe distance-unité : il peut s'obtenant à partir d'une collection de points du plan euclidien en reliant par une arête toutes les paires de points étant à une distance de 1.

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe fléchette est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe fléchette est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3 et est de degrés 5. Il est égal à : (x − 2)²(x − 1)²x.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe fléchette est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.

Le polynôme caractéristique du graphe fléchette est : − x(x⁴ − 6x² − 4x + 2).

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Dart Graph (MathWorld)

Références

• Portail des mathématiques