Formule de Poisson

Formule de Poisson

Formule de Poisson

En mathématiques, la formule de Poisson permet de calculer l'intégrale d'une Gaussienne. Ainsi de façon générique on a:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad \forall a>0

Cette relation se démontre simplement grâce à une intégrale double et un changement de variable polaire. Si l'on travaille à n dimensions, la formule se généralise sous la forme suivante:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\left(\frac{\pi}{a}\right)^{\frac{n}{2}}

Où cette fois x est un vecteur de \mathbb{R}^n.

Ainsi on a par exemple, avec les notations classiques:

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}=1

Transformée de Fourier de la Gaussienne

A l'aide de la formule de Poisson, on peut facilement calculer la transformée de Fourier de la gaussienne g(x)=e^{-ax^2}, puisque celle-ci s'écrit

\mathcal{F}[g(x)](k)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}e^{-ikx}dx=e^{-\frac{k^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(\sqrt{a}x+\frac{ik}{2\sqrt{a}})^2}dx

Et par un changement de variable approprié, on aboutit à

\mathcal{F}[g(x)](k)=e^{-\frac{k^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}
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