Formule de Mécanique des fluides

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Sommaire

Statique des fluides

Loi fondamentale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos soumis à un champ de forces volumique \vec{F} = \rho \vec{f}, où ρ désigne la masse volumique, le champ de pression \; p(x,y,z,t) vérifie la relation

\vec{\nabla}p = \rho \vec{f}

Exemple: Lorsque le fluide est soumis uniquement aux forces de gravité \left( \vec{F} = \rho \vec{g} \right), on a la relation

\vec{\nabla}p = \rho \vec{g}

soit, sachant que le champ de gravité est dirigé dans la direction verticale, (supposant le fluide incompressible ⇒ rho est constant )

\frac{dp}{dz} = - \rho g

Poussée d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide est soumis à une poussée de bas en haut égale au poids du volume du fluide déplacé.

Soit un corps de masse volumique \; \rho et de volume \; V plongé dans un fluide de masse volumique ρf. La poussée d'Archimède que le fluide exerce sur ce corps est la force

\vec{p}_A = - \rho_f V \vec{g}

Le poids apparent de ce corps dans le fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède, soit

\vec{p}_{app} = (\rho - \rho_f) V \vec{g}

Remarque: Lorsque la masse volumique du corps est inférieure à celle du fluide, le poids apparent est négatif. Voilà pourquoi une planche de bois (masse volumique < 1) remonte à la surface de l'eau.

Dynamique des fluides parfaits incompressibles

Equations d'Euler pour un écoulement incompressible

Soit l'écoulement incompressible d'un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, dans un champ de force massique \vec{f}. En première approximation, sa masse volumique \; \rho est constante. En un point quelconque du fluide \; M(x,y,z) et à un instant quelconque \; t, les champs de pression \; p(x,y,z,t) et de vitesse \vec{v}(x,y,z,t) vérifient les relations:

\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f}

En coordonnées cartésiennes \; (x_1, x_2, x_3), ces relations s'écrivent

\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0
\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j \; , \; \; j = 1,2,3

Ecoulement potentiel - Potentiel des vitesses

Un écoulement de fluide selon les normes de température et de pression est dit potentiel lorsque

\vec{\nabla} \times \vec{v} = \vec{0}

Dans ce cas, il existe une fonction potentiel des vitesses \; \phi qui vérifie

\vec{v} = \vec{\nabla} \phi

Relations de Bernoulli

Ecoulement stationnaire et potentiel

\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte

en tout point de l'ecoulement.

Ecoulement stationnaire et non-potentiel

\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte

le long d'une ligne de courant.

Ecoulement instationnaire et potentiel

\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte

en tout point de l'ecoulement.

Dynamique des fluides visqueux incompressibles

Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique \vec{f}. La viscosité cinématique du fluide est notée ν (unité SI: m2 / s). En un point quelconque du fluide \; M(x,y,z) et à un instant quelconque \; t, les champs de pression \; p(x,y,z,t) et de vitesse \vec{v}(x,y,z,t) vérifient les relations:

\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f} + \nu \nabla^2 \vec{v}

En coordonnées cartésiennes \; (x_1, x_2, x_3), ces relations s'écrivent

\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0
\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j + \nu \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2 v_j}{\partial x_i^2}\; , \; \; j = 1,2,3

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