Formulaire de Mécanique des fluides

Formulaire de Mécanique des fluides: Formules de mécanique des fluides

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Mécanique des fluides

Mécanique

Relativité restreinte

Trou noir

Analyse vectorielle

Sommaire

1 Statique des fluides

1.1 Loi fondamentale de la statique des fluides

1.2 Poussée d'Archimède

2 Dynamique des fluides parfaits incompressibles

2.1 Equations d'Euler pour un écoulement incompressible

2.2 Ecoulement potentiel - Potentiel des vitesses

2.3 Relations de Bernoulli

2.3.1 Ecoulement stationnaire et potentiel

2.3.2 Ecoulement stationnaire et non-potentiel

2.3.3 Ecoulement instationnaire et potentiel

3 Dynamique des fluides visqueux incompressibles

3.1 Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

4 Articles connexes

Statique des fluides

Loi fondamentale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos soumis à un champ de forces volumique $\vec{F} = \rho \vec{f}$ , où $ρ$ désigne la masse volumique, le champ de pression $\; p(x,y,z,t)$ vérifie la relation
$\vec{\nabla}p = \rho \vec{f}$
Exemple: Lorsque le fluide est soumis uniquement aux forces de gravité $\left( \vec{F} = \rho \vec{g} \right)$ , on a la relation
$\vec{\nabla}p = \rho \vec{g}$
soit, sachant que le champ de gravité est dirigé dans la direction verticale, (supposant le fluide incompressible ⇒ rho est constant )
$\frac{dp}{dz} = - \rho g$
Poussée d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide est soumis à une poussée de bas en haut égale au poids du volume du fluide déplacé.

Soit un corps de masse volumique $\; \rho$ et de volume $\; V$ plongé dans un fluide de masse volumique $ρ f$ . La poussée d'Archimède que le fluide exerce sur ce corps est la force
$\vec{p}_A = - \rho_f V \vec{g}$
Le poids apparent de ce corps dans le fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède, soit
$\vec{p}_{app} = (\rho - \rho_f) V \vec{g}$
Remarque: Lorsque la masse volumique du corps est inférieure à celle du fluide, le poids apparent est négatif. Voilà pourquoi une planche de bois (masse volumique < 1) remonte à la surface de l'eau.

Dynamique des fluides parfaits incompressibles

Equations d'Euler pour un écoulement incompressible

Soit l'écoulement incompressible d'un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, dans un champ de force massique $\vec{f}$ . En première approximation, sa masse volumique $\; \rho$ est constante. En un point quelconque du fluide $\; M(x,y,z)$ et à un instant quelconque $\; t$ , les champs de pression $\; p(x,y,z,t)$ et de vitesse $\vec{v}(x,y,z,t)$ vérifient les relations:
$\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$ $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f}$
En coordonnées cartésiennes $\; (x_1, x_2, x_3)$ , ces relations s'écrivent
$\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0$ $\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j \; , \; \; j = 1,2,3$
Ecoulement potentiel - Potentiel des vitesses

Un écoulement de fluide selon les normes de température et de pression est dit potentiel lorsque
$\vec{\nabla} \times \vec{v} = \vec{0}$
Dans ce cas, il existe une fonction potentiel des vitesses $\; \phi$ qui vérifie
$\vec{v} = \vec{\nabla} \phi$
Relations de Bernoulli

Ecoulement stationnaire et potentiel
$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$
en tout point de l'ecoulement.

Ecoulement stationnaire et non-potentiel
$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$
le long d'une ligne de courant.

Ecoulement instationnaire et potentiel
$\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$
en tout point de l'ecoulement.

Dynamique des fluides visqueux incompressibles

Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique $\vec{f}$ . La viscosité cinématique du fluide est notée $ν$ (unité SI: $m 2 / s$ ). En un point quelconque du fluide $\; M(x,y,z)$ et à un instant quelconque $\; t$ , les champs de pression $\; p(x,y,z,t)$ et de vitesse $\vec{v}(x,y,z,t)$ vérifient les relations:
$\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$ $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f} + \nu \nabla^2 \vec{v}$
En coordonnées cartésiennes $\; (x_1, x_2, x_3)$ , ces relations s'écrivent
$\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0$ $\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j + \nu \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2 v_j}{\partial x_i^2}\; , \; \; j = 1,2,3$
Articles connexes

Équations de Navier-Stokes

Application à un fluide en rotation : Équations primitives atmosphériques

Équilibre hydrostatique

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