Mécanique des milieux continus

Mécanique des milieux continus

La mécanique des milieux continus est le domaine de la mécanique qui s'intéresse à la déformation des solides et à l'écoulement des fluides — ce dernier point fait l'objet de l'article mécanique des fluides, nous nous intéresserons donc ici essentiellement à la déformation des solides.

Mécanique des milieux continus Déformation élastique ou Résistance des matériaux Élasticité
Plasticité Rhéologie
Mécanique des fluides Fluides non-newtoniens
Fluides newtoniens

Sommaire

Le milieu continu

Si l'on regarde la matière de « très près » (échelle nanoscopique), la matière est granulaire, faite de molécules. Mais à l'œil nu (donc en se plaçant à notre échelle), un objet solide semble continu, c'est-à-dire que ses propriétés semblent varier progressivement, sans à-coups.

L'hypothèse des milieux continus consiste à considérer des milieux dont les propriétés caractéristiques, c'est-à-dire celles qui nous intéressent — densité, élasticité, etc. — sont continues. Une telle hypothèse permet d'avoir recours aux outils mathématiques reposant sur les fonctions continues et/ou dérivables.

Des hypothèses supplémentaires peuvent éventuellement être faites ; ainsi un milieu continu peut être :

  • homogène : ses propriétés sont les mêmes en tout point ;
  • isotrope : ses propriétés ne dépendent pas du repère dans lequel elles sont observées ou mesurées.

De nombreux matériaux utilisés dans l'industrie sont à la fois homogènes et isotropes (métaux usinés ou bruts de fonderie). Cependant, de nombreux matériaux ne sont pas isotropes (tôles laminées, pièces forgées, pièces tréfilées…) ; par ailleurs, l'utilisation de plus en plus fréquentes des matériaux composites a amené à étudier les milieux qui ne sont ni homogènes (sandwiches), ni isotropes (fibres de verre, de carbone ou de kevlar maintenues dans une résine) mais pour lesquels l'hypothèse de continuité (tout au moins par morceaux) reste valable.

Approche simplifiée : contrainte, déformation et coefficients élastiques

La base de la mécanique des milieux continus est l'étude des déformations et des phénomènes associés à une transformation d'un milieu. La notion de déformation sert à quantifier de quelle manière les longueurs ont été dilatées et les angles ont changé dans le milieu.

Une manière simple pour chercher à quantifier la déformation, est de regarder l'allongement relatif d'un segment dans le solide, ou la variation d'angle entre deux directions.

Pour l'allongement relatif \epsilon, encore appelé déformation

\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}=\frac{l-l_0}{l_0}

l0 étant la longueur initiale et Δl l'allongement ; \epsilon est sans unité.

On pourra remarquer que lors d'une sollicitation en traction, ε est positif, et que lors d'une compression, il est négatif.

Cette notion introduite ici est « globale » en cela que l'on regarde l'allongement relatif pour un segment de longueur l0.

Pour introduire une notion locale, il faut considérer la limite de l'allongement relatif lorsque la longueur du segment tend vers 0 :

\varepsilon=\mathop {\lim_{\ell \to 0}} \frac {{\delta} {\ell} } {\ell}

On se rend alors compte que la notion d'allongement relatif est assez pauvre, car au cœur du volume d'un solide, on peut considérer une infinité de direction pour les segments. Cette notion est cependant suffisante pour appréhender l'étude des poutres.

Les sollicitations sont quantifiées par la notion de contrainte σ, qui est l'effort surfacique exercé sur une partie de la pièce en un point par le reste de la pièce.

\sigma = \frac FS

σ est homogène à une pression et est exprimé en mégapascal (MPa) ou en Newton par millimètre carré (N/mm²).

Le fait d'utiliser σ et \epsilon permet d'écrire des lois locales et non globales, on peut alors écrire l'équilibre de chaque point du milieu et décrire son comportement (loi liant la contrainte et la déformation).

Le matériau est caractérisé par des coefficients élastiques, qui représentent la difficulté à déformer ; le principal est le module d'Young E, relié à la contrainte et la déformation par la loi de Hooke :

\sigma = E \cdot \varepsilon

E est homogène à une pression et est exprimé en gigapascal (GPa) ou en kilonewton par millimètre carré (kN/mm²).

Article détaillé : Déformation élastique.

Descriptions des milieux continus

Pour décrire le milieu on se donne les outils suivants :

Représentation lagrangienne

Article détaillé : description lagrangienne.

En représentation lagrangienne, les fonctions décrivant les grandeurs dépendent des variables suivantes :

  • La particule considérée (ou sa position M0 à un temps de référence t0)
  • Le temps

Si X est un champ lagrangien, alors on a :

X = X(M0,t) = X(x0,y0,z0,t)

La représentation lagrangienne suit chaque particule. Le champ lagrangien donne la valeur de la grandeur considérée portée par la particule qui au temps t0 occupait le point M0.

Représentation eulérienne

Article détaillé : description eulérienne.

En représentation eulérienne, les fonctions décrivant les grandeurs dépendent des variables suivantes :

  • Le point géométrique considéré
  • Le temps

Si X est un champ eulérien, alors on a :

X = X(M,t) = X(x,y,z,t)

Le champ eulérien donne la valeur de la grandeur considérée portée par la particule qui au temps t occupe le point M.

Utilisation des deux représentations

La représentation lagrangienne est souvent plus intuitive au départ, mais elle présente de nombreux défauts :

  • Un champ lagrangien est difficilement stationnaire
  • Il est parfois difficile de suivre une particule

La représentation eulérienne est peut-être moins intuitive, mais elle a un avantage majeur :

  • Simplicité de la description (par exemple d'un écoulement autour d'un solide)

En description eulérienne il y a cependant un inconvénient : pour appliquer les théorèmes de la mécanique, il faut considérer un système fermé, or le champ eulérien donne les grandeurs en un point géométrique (donc les particules en ce point changent au cours du temps) ce qui est un système ouvert. Il faut donc être capable d'exprimer les dérivées des grandeurs pour chaque particule en fonction du champ eulérien. Pour cela on peut utiliser la dérivée particulaire, ou la formulation sous forme conservative des différents théorèmes ce qui concerne les équations de Navier-Stokes.

Expression de la dérivée particulaire

Dans ce qui suit, \tfrac{\partial X}{\partial t} représente la dérivée en description eulérienne et \tfrac{\mathrm D X}{\mathrm Dt} la dérivée particulaire (en description lagrangienne).

Si X(\underline{M},t) est un champ scalaire :

\frac{\mathrm D X}{\mathrm Dt}=\frac{\partial X}{\partial t}.\frac{\mathrm dt}{\mathrm dt} + \frac{\partial X}{\partial \underline{M}}.\frac{\mathrm d\underline{M}}{\mathrm dt} = \frac{\partial X}{\partial t} + \underline{\operatorname{grad}}(X)\cdot\underline{v}

De même, si \underline{X} est un champ vectoriel, en développant :

\frac{\mathrm D \underline{X}}{\mathrm Dt}=\frac{\partial \underline{X}}{\partial t} +\underline{\underline{\operatorname{grad}}}(\underline{X})\cdot\underline{v}

On obtiendra le même type de formule pour la dérivée particulaire d'un champ représenté par un tenseur d'ordre quelconque.

La représentation lagrangienne est adaptée à la description des solides, tandis que la représentation eulérienne est adaptée à la description des fluides.

Cinématique des milieux continus (description lagrangienne)

On décrit la transformation de chaque point du milieu par une fonction (suffisamment régulière) \underline{\Phi}(M,t) telle que \underline{OM}=\underline{\Phi}(M_0,t).

On introduit alors le concept de déformation, pour mesurer la variation de distance entre deux points du solide suite à la transformation \underline{\Phi}

On cherche à avoir une mesure de \|MN\|^2-\|M_0N_0\|^2.

Or on a \underline{OM}=\underline{\Phi}(M_0,t). On peut donc écrire :

\underline{ON}=\underline{OM}+\underline{\underline{F}}\cdot\underline{M_0N_0} +o(\|\underline{M_0N_0}\|)

Où

\underline{\underline{F}}=\underline{\underline{\operatorname{grad}}}(\underline{\Phi})= \frac{\partial\underline{\Phi}}{\partial M_0}

est le gradient de la transformation.

On obtient donc :

\|MN\|^2-\|M_0N_0\|^2=\underline{M_0N_0} \left(\underline{\underline{F}}^T \cdot\underline{\underline{F}}-\underline{\underline{Id}}\right) \underline{M_0 N_0}

On pose :

\underline{\underline{E}}=\frac{1}{2}\left(\underline{\underline{F}}^T \cdot\underline{\underline{F}}-\underline{\underline{Id}}\right)

où \underline{\underline{E}} est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange.

Si on introduit le vecteur déplacement \underline{u}(M_0,t)=\underline{M_0M} on obtient :

\underline{\underline{E}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0}^T \cdot\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0} + \frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0}^T \right)

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on obtient l'opérateur des déformations linéarisé :

\underline{\underline{\varepsilon}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0}^T \right)

Loi de comportement

Article détaillé : Déformation élastique.

Lois empiriques de comportement

Article détaillé : Lois de déformation.

Les lois empiriques de comportement sont des lois dérivées des observations et de l'expérience, qui décrivent les déformations ou les contraintes en fonction des sollicitations (vitesse de déformation, température...).

Essais mécaniques simples

Article détaillé : Essais mécaniques.

Ces essais permettent de mesurer, pour un objet, les principales grandeurs caractéristiques liées à la matière dont il est constitué.

Tenseur des déformations

Article détaillé : Tenseur des déformations.

Si l'on dessine un petit cube au sein de la matière, ce cube sera transformé en parallélépipède après déformation de la pièce (on suppose des petites déformations). On va donc avoir d'une part une élongation (ou contraction) différente selon les trois arêtes (\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3), mais aussi une variation de l'angle droit pour chacun des trois angles, qui deviendront (π / 2 − 2γ1,π / 2 − 2γ2,π / 2 − 2γ3).

Ces grandeurs permettent de définir le tenseur des déformations qu'on peut représenter sous la forme d'une matrice 3x3 dont les coefficient sont ces grandeurs.

Tenseur des contraintes

Article détaillé : Tenseur des contraintes.

Dans le cas général, un élément de matière situé au cœur d'une pièce est soumis à des contraintes dans diverses directions. Dans le cadre de la théorie du premier gradient, on représente cet état de contrainte par un tenseur d'ordre deux (que l'on peut lui même représenter par une matrice 3×3) appelé tenseur des contraintes.

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