$\boldsymbol v (\boldsymbol r) =\frac{ \text{d} \boldsymbol r}{ \text{d} t }=\frac{\text{d} x}{\text{d} t} \boldsymbol u_x + \frac{\text{d} y}{\text{d} t} \boldsymbol u_y + \frac{\text{d} z}{\text{d} t} \boldsymbol u_z$ ,

et l'accélération

$\boldsymbol a(\boldsymbol r)=\frac{\text{d} \boldsymbol v}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \boldsymbol r}{\text{d} t^2}=\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_x + \frac{\text{d}^2 y}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_y + \frac{\text{d}^2 z}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_z$ .

En coordonnées cylindriques

$\boldsymbol r=\rho \boldsymbol u_\rho+z \boldsymbol u_z$

$\boldsymbol v=\frac{\text{d} \boldsymbol r}{\text{d} t}= \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \boldsymbol u_\rho+\rho\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \boldsymbol u_\varphi +\frac{\text{d} z}{\text{d}t} \boldsymbol u_z$ .

$\boldsymbol a =\frac{\text{d} \boldsymbol v}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \boldsymbol r}{\text{d}t^2}=\left(\frac{\text{d}^2 \rho}{\text{d} t^2}-\rho\left(\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\right)^2\right) \boldsymbol u_\rho+\left(2\frac{\text{d} \rho}{\text{d} t}\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}+\rho\frac{\text{d}^2 \phi}{\text{d}t^2}\right) \boldsymbol u_\varphi+\frac{\text{d}^2 z}{\text{d}t^2} \boldsymbol u_z$ .

Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :

$\frac{\text{d} \boldsymbol u_\rho}{\text{d} t}=\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \boldsymbol u_\varphi$ ,

$\frac{\text{d} \boldsymbol u_\varphi}{\text{d} t}=-\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \boldsymbol u_\rho$ .

En coordonnées sphériques

$\boldsymbol r=r \boldsymbol u_r$ ,

$\boldsymbol v =\frac{\text{d} \boldsymbol r}{\text{d} t}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \boldsymbol u_r+r\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t} \boldsymbol u_\theta+r \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin \theta \boldsymbol u_\varphi$ ;

$\boldsymbol a =\frac{\text{d} \boldsymbol v }{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \boldsymbol r}{\text{d}t^2}=a_r \boldsymbol u_r+a_\theta \boldsymbol u_\theta+a_\varphi \boldsymbol u_\varphi$ ,

avec:

$a_r=\left(\frac{\text{d}^2r}{\text{d}t^2}-r\left(\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\right)^2+r\left(\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\right)^2\sin^2\theta\right)$ ,

$a_\theta=\left( r \frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d}t^2} +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}-r\left( \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \right)^2\sin \theta \cos \theta\right)$

$a_\varphi=\left( r \frac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d}t^2}\sin \theta +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\sin \theta + 2r\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\cos \theta\right)$ .

Changement de référentiel

Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel $\mathcal R$ . Soit un autre référentiel, $\mathcal R$ ', dont l'origine est située au rayon vecteur s dans $\mathcal R$ . Le rayon vecteur du point, déterminé dans $\mathcal R$ ' est alors

$\boldsymbol r' = \boldsymbol r - \boldsymbol s$ .

Les vitesses du point peuvent être mesurées dans $\mathcal R$ ou dans $\mathcal R$ '. Elles sont notées avec l'indice $\mathcal R$ ou $\mathcal R$ ', de même que les accélérations.

Vitesse d'entraînement :

$\boldsymbol v_{\rm e} = \dot \boldsymbol s_{\mathcal R} + \boldsymbol \Omega \wedge \boldsymbol r'$
Loi de composition des vitesses :

$\boldsymbol v_{\mathcal R} = \boldsymbol v'_{\mathcal R'} + \boldsymbol v_{\rm e}$
Accélération d'entraînement :

$\boldsymbol a_{\rm e} = \ddot \boldsymbol s_{\mathcal R} + \dot \boldsymbol \Omega \wedge \boldsymbol r' + \boldsymbol \Omega \wedge (\boldsymbol \Omega \wedge \boldsymbol r')$
Accélération de Coriolis :

$\boldsymbol a_{\rm c} = 2 \boldsymbol \Omega \wedge \dot \boldsymbol r'_{\mathcal R'}$
Loi de composition des accélérations :

$\boldsymbol a_{\mathcal R} = \boldsymbol a'_{\mathcal R'} + \boldsymbol a_{\rm e} + \boldsymbol a_{\rm c}$

Dynamique

Quelques forces

Poids :

$\boldsymbol P =m \boldsymbol g$
Interaction électromagnétique :

$\boldsymbol F_{1\rightarrow 2}= \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1}{|\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1|^3}$
Interaction gravitationnelle :

$\boldsymbol F_{1\rightarrow 2}= -G m_1 m_2 \frac{\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1}{|\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1|^3}$
Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :

$\boldsymbol F = - k \boldsymbol u$
Frottement fluide :

$\boldsymbol F = -\lambda \boldsymbol v$
Force d'inertie d'entraînement :

$\boldsymbol f_{\rm i_e}= - m \boldsymbol a_e$
Force d'inertie de Coriolis:

$\boldsymbol f_{\rm i_c}=-m \boldsymbol a_c$

Principe fondamental de la dynamique

Vecteur quantité de mouvement :

$\boldsymbol p = m \boldsymbol v$ (en général)
Principe fondamental de la dynamique :

$\frac{\text{d} \boldsymbol p}{\text{d}t}= \sum \boldsymbol F \; +\boldsymbol f_{\rm i_e} + \boldsymbol f_{\rm i_c}$
Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,

$\boldsymbol F_{A \rightarrow B} = - \boldsymbol F_{B \rightarrow A}$

Aspect énergétique

Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:

$\delta W =\boldsymbol F \cdot\text{d} \boldsymbol r$
Travail le long d'un chemin $Γ A B$ :

$\displaystyle W_{A \rightarrow B}=\int_{\boldsymbol r \in \Gamma_{AB}} \delta W(\boldsymbol r)=\int_{\boldsymbol r \in \Gamma_{AB}} \boldsymbol F \cdot\text{d} \boldsymbol l(\boldsymbol r)$
Puissance :

$\mathcal{P}=\displaystyle \frac{\delta W}{\text{d} t}$
On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :

$\mathcal{P}= \boldsymbol F \cdot \boldsymbol v$
Énergie cinétique d'un point matériel :

$E_{\rm c} =\displaystyle \frac{1}{2}m |\boldsymbol v|^2$
Théorème de l'énergie cinétique :

$\displaystyle \Delta E_{\rm c}=\sum W(\boldsymbol F)\;+W( \boldsymbol f_{\rm i_e})+W(\boldsymbol {f}_{\rm i_c})$
Énergie mécanique :

$E m = E c + E p$

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Chacune de ces énergies est définie à une constante près

Pesanteur :

$E p = m g z$
Ressort :

$E_{\rm p} = \frac{1}{2}k |\boldsymbol u|^2$
Force de Coulomb :

$E_{\rm p} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}$
Gravitation :

$E_{\rm p} = -\frac{G m_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}$

Notion de Moment

Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :

$\boldsymbol L_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol r)= m (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \wedge \boldsymbol v(\boldsymbol r)$
Par rapport à un autre point r'' :

$\boldsymbol L_{\boldsymbol r''}(\boldsymbol r)= (\boldsymbol r - \boldsymbol r'') \wedge m \boldsymbol v(\boldsymbol r) = \boldsymbol L_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol r) + m (\boldsymbol r' - \boldsymbol r'') \wedge \boldsymbol v(\boldsymbol r)$
Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :

$\boldsymbol M_{\boldsymbol r'} = (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \boldsymbol F$
Par rapport à un autre point r'' :

$\boldsymbol M_{\boldsymbol r''}(\boldsymbol r)= \boldsymbol M_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol r) + (\boldsymbol r' - \boldsymbol r'') \wedge \boldsymbol F$
Théorème du moment cinétique :

$\frac{\text{d} \boldsymbol L_{\boldsymbol r'}}{\text{d} t}=\sum \boldsymbol M_{\boldsymbol r'} (\boldsymbol F)\;+\boldsymbol M_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol f_{\rm i_e})+ \boldsymbol M_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol f_{\rm i_c})$ .

Oscillateur

Oscillateur harmonique (sans amortissement)

Équation différentielle de la forme :

$\frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+\omega_0^2 u=0$ .
Pulsation propre :

$\omega_0=\frac{k}{m}$
Période propre:

$T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}$
Solution sous la forme :

$u (t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t)$ .

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement λ

Équation différentielle de la forme :

$\frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+2\lambda\frac{\text{d} u}{\text{d} t}+\omega_0^2 u=0$
Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :

$\Delta=4(\lambda^2-\omega_0^2)$
- $Δ < 0$ , soit $λ < ω 0$ , alors
  
  $x(t)=e^{-\lambda t}\left[A \cos(\Omega t)+B \sin(\Omega t)\right]$ (régime pseudo-périodique)
  
  Pseudo-pulsation :
  
  $\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}$ ;
  
  Pseudo-période :
  
  $T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}$
- $Δ = 0$ , soit $λ = ω 0$ , alors
  
  $x (t) = (A t + B) e - λ t$ (régime critique)
- $Δ > 0$ , soit $λ > ω 0$ , alors
  
  $x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t}+Be^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t})$ (régime apériodique)
Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

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