Formule de Brahmagupta

En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

où $p = \frac 12 (a+b+c+d) \,$ est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et $S$ son aire.

Démonstration

En suivant les notations de la figure, l'aire $S$ du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles $(A D B)$ et $(B D C)$ :

$S= \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C$

mais comme $(A B C D)$ est inscriptible, les angles en $A$ et $C$ sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : $S = \frac{1}{2}\sin A (ab + cd)$

d'où en élevant au carré : $4S^2 = (ab+ cd)^2 - cos^2 A (ab+ cd)^2 \,$

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles $(A D B)$ and $(B D C)$ et en égalant les expressions du côté commun $D B,$ on obtient :

$a^2 + b^2 - 2ab\cos A = c^2 + d^2 - 2cd\cos C \,$

ce qui s'écrit puisque les angles $A$ et $C$ sont supplémentaires :

$2\cos A (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2. \,$

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

$16S^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 \,$

$=(2(ab + cd) + a^2 + b^2 -c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 +d^2) \,$

$= ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 ) \,$

$= (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d). \,$

En introduisant $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ , on obtient :

$16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) \,$

d'où

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Cas particuliers

Le carré : $b=c=d=a,\quad p=2a$ et $S = \sqrt{a^4} = a^2\,$
Le rectangle : $a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)$ et $S = \sqrt{L^2\cdot l^2} = L\cdot l\,$
Le triangle : $d=0\quad$ ; on retrouve la formule de Héron.

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