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Formule de Héron
En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :
avec
s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.
Sommaire
Démonstration
La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant
puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :
On obtient la formule de Héron en substituant
dans la formule ci-dessus.
Mise en œuvre numérique
La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).
En choisissant les noms de côtés de sorte à ce que et en réorganisant les termes de façon à optimiser les grandeurs ajoutées ou soustraites, on obtient une formule plus stable :
- .
Généralisation
En géométrie sphérique
En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.
Pour les quadrilatères
Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta.
Pour les tétraèdres
Le volume d'un tétraèdre est donné en fonction de la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger.
Voir également
- Mathématiciens
- Trigonométrie
- Triangle
- Généralisations
- Théorème de l'Huilier
- Formule de Bretschneider
- Formule Brahmagupta
- Déterminant de Cayley-Menger
Liens externes
Les liens suivants sont en anglais :
- Héron's Formula (site Math World)
- Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle (William Kahan).
- Portail de la géométrie
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