Fonction reglée

Fonction reglée

Fonction réglée

En mathématiques, une fonction réglée est une application réelle qui est limite uniforme d'une suite de fonction en escalier.

Sommaire

Approche intuitive et positionnement du problème

Un enjeu majeur des mathématiques est la mesure d'une aire. Commençons par le cas du plan réel. Soit a et b deux nombres réels tels que a < b soit une fonction f réelle définie sur l'intervalle \left[ a, b \right]. On définit l'intégrale de f sur l'intervalle \left[ a, b \right] comme l'aire limitée par les droites d'équation x = a, x = b, par l'axe des abscisses et par le graphe de la fonction f. L'aire est mesurée négativement là où f est négative et positivement sinon. Si S est la mesure de cette aire, on utilisera la notation suivante:

S=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x

On parlera alors de l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle\left[ a\ b \right] est égal à S\,. L'enjeu est alors de définir l'intégrale sur un ensemble de fonctions le plus vaste possible.

Il existe un ensemble de fonctions pour lequel l'intégrale se définit simplement, ce sont les fonctions en escalier. L'article sur l'Intégrale de Riemann indique de manière rigoureuse comment ces fonctions ainsi que leurs intégrales sont définies.

Pour prolonger la définition de l'intégrale à un espace plus vaste, il existe une méthode un peu différente de celle de Riemann et qui dérive de la topologie. Cette méthode consiste à considérer l'adhérence de l'ensemble des fonctions en escalier pour la norme de la convergence uniforme.

Définition

Soit E un espace de Banach et soit a et b deux nombres réels tels que a < b. Soit \mathcal{E} l'ensemble des fonctions en escaliers de \left[ a, b \right] dans E. L'ensemble \mathcal{E} est un sous-ensemble de \mathcal{F}(\left[ a, b \right],E), l'ensemble des applications de [a,b] à valeurs dans E, muni de la norme de la norme infinie ||\cdot||_{\infty}. L' adhérence \overline {\mathcal{E}} de ce sous-ensemble est appelé ensemble des fonctions réglées de \left[ a, b \right] dans E.

Propriétés

Démonstration

\overline {\mathcal{E}} est non vide car il contient la fonction constante 0.

Soit f et g deux éléments de \overline {\mathcal{E}} et soit λ un réel quelconque. Il nous suffit de montrer que \lambda f+g\in\overline {\mathcal{E}}. Il nous suffit pour cela de montrer qu'il existe une fonction en escalier arbitrairement proche de λf + g.

Soit \varepsilon un réel strictement positif et arbitrairement proche de 0. Soit M un réel vérifiant M > 1 et M > | λ | . Comme f (resp. g) sont des fonctions réglées, il existe une fonction en escalier fe (resp. ge) tel que:

||f_e - f ||_\infty < \frac {\varepsilon } {2M} \quad \mathrm{et} \quad ||g_e - g ||_\infty < \frac {\varepsilon } {2} \;

donc

||(\lambda f + g ) - (\lambda f_e + g_e)||_\infty \le |\lambda | ||f - f_e||_\infty + ||g - g_e ||_\infty < \frac {\varepsilon } {2} + \frac {\varepsilon } {2} = \varepsilon

Nous avons donc démontré qu'il existe une fonction en escalier λfe + ge arbitrairement proche de la fonction λf + g, ce qui démontre la proposition.

Démonstration

Pour cela démontrons la continuité de la fonction intégrale sur l'ensemble des fonctions en escalier. Pour montrer qu'une forme linéaire est continue, il faut et il suffit de montrer que l'image de la boule unité (c'est-à-dire les fonctions de norme inférieures ou égales à 1) par l'intégrale est bornée. Soit f une fonction de la boule unité. Dire que f est élément de la boule unité, c'est dire que:

\forall x \in \left[ a, b \right],\ ||f(x)||_\infty \le 1

et

||\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x||_\infty \le \int_{a}^{b} ||f(x)||_\infty \mathrm{d}x \le \int_{a}^{b} 1 \mathrm{d}x \le |b - a|

La boule unité à donc une image bornée, ce qui prouve que l'intégrale est continue. Or toute forme linéaire continue est uniformément continue. De plus toute fonction uniformément continue se prolonge sur son adhérence par continuité.

Démonstration

C'est essentiellement une conséquence du théorème de Heine. Soit f une fonction continue sur \left[ a, b \right], alors le théorème de Heine nous indique qu'elle est uniformément continue. Si l'on reprend la définition de la continuité uniforme, on obtient:

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0,\ \forall x,y\in \left[ a, b \right],\ |x - y| < \eta \Longrightarrow ||f(x) - f(y)||_\infty < \varepsilon

Cette valeur η va nous permettre de construire une fonction en escalier proche de f au sens de la norme de la convergence uniforme.

Soit (bi) (avec i \in \{ 1 ,\ldots, n\} une suite finie croissante tel que b1 = a, bn = b et \forall \ i \in \{ 1\ ...\ n-1\},\ |b_{i+1}-b_i| < \eta .

Soit alors la fonction fe comme une fonction en escalier de \left[ a, b \right] dans E définie par:

\forall i \in \{ 1,\ldots,n-1\},\ \forall x \in \left[ b_i\ b_{i+1} \right[,\ f_e(x) = f(b_i)\ \mathrm{et} f_e(b) = f(b)

On remarque alors que la distance entre f et fe est plus petite que \varepsilon. Ce qui montre la proposition.

Intérêt des fonctions réglées

La notion de fonctions réglées permet de construire de manière élégante une théorie de l'intégrale un peu moins générale que l'Intégrale de Riemann. Deux théorèmes puissants sur les fonctions uniformément continues : celui de Heine et celui du prolongement, ont permis de définir l'intégrale.

Il est cependant possible de définir la notion d'intégrale sur une classe de fonctions plus vaste que celle des fonctions réglées. Ainsi la fonction f définie sur \left[ 0, 1 \right] par f\left ( \frac{1}{n} \right )\;=\;1 si n est un entier strictement positif et 0 \, sinon, n'est pas une fonction réglée mais elle est intégrable au sens de Riemann.

On peut légitimement se demander si l'intégrale de fonctions étranges comme celle citée ci-dessus correspond à un besoin pertinent. La réponse est clairement oui. De manière générale, est-il possible de prolonger par continuité des intégrales qui ne se définissent que sur un espace restreint de fonctions ? Malheureusement, le monde des fonctions réglées est par trop limité et si une suite fn de fonctions réglées converge dans un sens plus restreint que la convergence uniforme, alors la limite n'est pas toujours une fonction réglée. En fait, même l'espace des fonctions intégrables au sens de Riemann est bien trop petit pour que ce type de méthode soit fructueuse. C'est donc d'autres approches, celle de l'Intégrale de Lebesgue ou celle de l'intégrale de Kurzweil-Henstock, qui permettent de généraliser convenablement l'espace des fonctions intégrables. Comme ce type d'approche est depuis le XXe siècle une des méthodes les plus productives, c'est l'Intégrale de Lebesgue qui est très généralement utilisée par les mathématiciens.

Il existe néanmoins un cas ou l'on doit se contenter de la construction de l'intégrale par les fonctions réglées. C'est le cas ou l'espace d'arrivée est trop complexe pour utiliser les méthodes de Riemann ou Lebesgue. Ces deux méthodes supposent en effet que l'espace d'arrivée soit ordonné. Dans le cas général ou l'espace d'arrivée est un espaces de Banach un peu complexe, alors seule l'approche par les fonctions réglées reste opérationnelle.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Fonction r%C3%A9gl%C3%A9e ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction reglée de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction Réglée — En mathématiques, une fonction réglée est une application réelle qui est limite uniforme d une suite de fonction en escalier. Sommaire 1 Approche intuitive et positionnement du problème 2 Définition …   Wikipédia en Français

  • Fonction reglee — Fonction réglée En mathématiques, une fonction réglée est une application réelle qui est limite uniforme d une suite de fonction en escalier. Sommaire 1 Approche intuitive et positionnement du problème 2 Définition …   Wikipédia en Français

  • Fonction réglée — En mathématiques, une fonction réglée est une fonction qui est la limite uniforme d une suite de fonctions en escalier. Sommaire 1 Origine de la notion 2 Fonctions à valeurs dans un Banach 3 Propriétés …   Wikipédia en Français

  • Fonction de Thomae — Graphe de la fonction de Thomae sur [0,1] En mathématiques, la fonction de Thomae est une variante de la fonction de Dirichlet. Elle a été définie en 1875 par le mathématicien Carl Johannes Thomae  …   Wikipédia en Français

  • Surface réglée standard — En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une surface réglée standard est une variété algébrique, qui propose un modèle simple de surface réglée. On obtient ainsi une classification de toutes les surfaces réglées à… …   Wikipédia en Français

  • Grandeur réglée — Automatique L automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la… …   Wikipédia en Français

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable — Créée au XVIIe siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au XVIIIe, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l’analyse… …   Encyclopédie Universelle

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • SÉRIES ET PRODUITS INFINIS — La notion de limite d’une suite est à la base de l’analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s’est imposé dès le XVIIe siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”